Gabarito: [tex3]\frac{a^{2}(2\sqrt{3}-1)}{44}[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Geometria Plana - Quadrado de lado a Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jun 2019
09
13:45
Geometria Plana - Quadrado de lado a
São dados um quadrado de lado a em um triângulo equilátero de lado a. Calcule a área hachurada, sabendo que os pontos A, B e C são alinhados:
Gabarito: [tex3]\frac{a^{2}(2\sqrt{3}-1)}{44}[/tex3]
Resposta
Gabarito: [tex3]\frac{a^{2}(2\sqrt{3}-1)}{44}[/tex3]
Última edição: caju (Dom 09 Jun, 2019 14:41). Total de 2 vezes.
Razão: retirar o enunciado da imagem.
Razão: retirar o enunciado da imagem.
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Jun 2019
09
14:16
Re: Geometria Plana - Quadrado de lado a
Eu sei que é pra fazer por geometria plana, mas por analítica me parece mais imediata. Ponha os eixos cartesianos no lado do quadrado, provavelmente vai sair assim
Jun 2019
09
14:18
Re: Geometria Plana - Quadrado de lado a
Desse jeito eu não faço ideia...sinceramente...
Jun 2019
09
15:56
Re: Geometria Plana - Quadrado de lado a
Primeiramente, denotemos o quadrado [tex3]ABDE[/tex3]
A forma que o o colega indicou é seguinte:
Considere o plano cartesiano de abcissa [tex3]AC[/tex3] e ordenada [tex3]AE[/tex3] , sendo [tex3]A(0,0)[/tex3] a origem.
De lucro vc já tem as coordenadas de [tex3]B(a,0)[/tex3] .
Seja [tex3]K=BD\cap CE[/tex3] e [tex3]T=BF\cap CE[/tex3] .
A reta [tex3]CE[/tex3] tem equação:
[tex3]y=-\frac{1}{2}x+a[/tex3]
A reta [tex3]BD[/tex3] tem equação [tex3]x=a[/tex3]
Então, [tex3]K[/tex3] é a interseção entre as retas [tex3]BD[/tex3] e [tex3]CE[/tex3] . Ou seja:
[tex3]y=-\frac{1}{2}a+a\\
y=\frac{a}{2}[/tex3]
Logo, [tex3]K\(a, \frac{a}{2}\)[/tex3]
Encontre a equação da reta [tex3]BF[/tex3] , sabendo que o [tex3]\tg(\angle CBF)=\sqrt{3}[/tex3] . Depois para encontrar as coordenadas de [tex3]T[/tex3] faça a igualdade entre as equações das retas [tex3]BF[/tex3] e [tex3]CE[/tex3] .
Depois de ter as coordenadas dos pontos [tex3]B, K,T[/tex3] utilize a fórmula da área de um triângulo na geometria analítica.
e o triângulo equilátero [tex3]BCF[/tex3]
A forma que o o colega indicou é seguinte:
Considere o plano cartesiano de abcissa [tex3]AC[/tex3] e ordenada [tex3]AE[/tex3] , sendo [tex3]A(0,0)[/tex3] a origem.
De lucro vc já tem as coordenadas de [tex3]B(a,0)[/tex3] .
Seja [tex3]K=BD\cap CE[/tex3] e [tex3]T=BF\cap CE[/tex3] .
A reta [tex3]CE[/tex3] tem equação:
[tex3]y=-\frac{1}{2}x+a[/tex3]
A reta [tex3]BD[/tex3] tem equação [tex3]x=a[/tex3]
Então, [tex3]K[/tex3] é a interseção entre as retas [tex3]BD[/tex3] e [tex3]CE[/tex3] . Ou seja:
[tex3]y=-\frac{1}{2}a+a\\
y=\frac{a}{2}[/tex3]
Logo, [tex3]K\(a, \frac{a}{2}\)[/tex3]
Encontre a equação da reta [tex3]BF[/tex3] , sabendo que o [tex3]\tg(\angle CBF)=\sqrt{3}[/tex3] . Depois para encontrar as coordenadas de [tex3]T[/tex3] faça a igualdade entre as equações das retas [tex3]BF[/tex3] e [tex3]CE[/tex3] .
Depois de ter as coordenadas dos pontos [tex3]B, K,T[/tex3] utilize a fórmula da área de um triângulo na geometria analítica.
Última edição: Babi123 (Dom 09 Jun, 2019 16:05). Total de 3 vezes.
Jun 2019
09
16:00
Re: Geometria Plana - Quadrado de lado a
Acredito ser isso, mas tbm tenho a leve impressão que já vi essa questão aqui no fórum.
-
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- Última visita: 23-03-24
Jun 2019
09
16:10
Re: Geometria Plana - Quadrado de lado a
É isso mesmo, Babi123. Estava procurando uma solução alternativa e vi uma por trigonometria que é legal também. Se ninguém fizer eu posto mais tarde
Jun 2019
10
01:35
Re: Geometria Plana - Quadrado de lado a
Olá buiu229,bom dia.
Farei a solução por Geometria Plana mesmo. De [tex3]\Delta ACE[/tex3] ~[tex3]\Delta BCK[/tex3] :
[tex3]\frac{a}{2a}=\frac{BK}{a}\\
\boxed{BK=\frac{a}{2}}[/tex3]
Agora, é só perceber o seguinte:
[tex3]A_{\Delta KDE}+A_{ABKE}=a^2[/tex3]
Por outro lado,
[tex3]A_{ABKE}+A_{KBT}+A_{BCT}=\frac{2a\cdot a}{2}\\
A_{ABKE}+A_{KBT}+A_{BCT}=a^2[/tex3]
Então, temos que:
[tex3]A_{\Delta KDE}+A_{ABKE}=A_{ABKE}+A_{KBT}+A_{BCT}\\
A_{KBT}=A_{KDE}-A_{BCT}\\
\boxed{A_{KBT}=\frac{a\cdot \frac{a}{2}}{2}-\frac{BT\cdot\frac{a}{2}\cdot \sen60^o}{2}} \ \ (*)[/tex3]
Mas,
[tex3]A_{KBT}=\frac{\frac{a}{2}\cdot BT\cdot \sen30^o}{2}\\
A_{KBT}=\frac{a\cdot BT}{8}\\
\boxed{BT=\frac{8\cdot A_{KBT}}{a}}[/tex3]
Agora, basta substituir o valor de [tex3]BT[/tex3] em [tex3](*)[/tex3] e vc chega no resultado.
OBS.: Essa estratégia foi motivada por uma resolução de um professor quando eu estudava no ensino médio
Farei a solução por Geometria Plana mesmo. De [tex3]\Delta ACE[/tex3] ~[tex3]\Delta BCK[/tex3] :
[tex3]\frac{a}{2a}=\frac{BK}{a}\\
\boxed{BK=\frac{a}{2}}[/tex3]
Agora, é só perceber o seguinte:
[tex3]A_{\Delta KDE}+A_{ABKE}=a^2[/tex3]
Por outro lado,
[tex3]A_{ABKE}+A_{KBT}+A_{BCT}=\frac{2a\cdot a}{2}\\
A_{ABKE}+A_{KBT}+A_{BCT}=a^2[/tex3]
Então, temos que:
[tex3]A_{\Delta KDE}+A_{ABKE}=A_{ABKE}+A_{KBT}+A_{BCT}\\
A_{KBT}=A_{KDE}-A_{BCT}\\
\boxed{A_{KBT}=\frac{a\cdot \frac{a}{2}}{2}-\frac{BT\cdot\frac{a}{2}\cdot \sen60^o}{2}} \ \ (*)[/tex3]
Mas,
[tex3]A_{KBT}=\frac{\frac{a}{2}\cdot BT\cdot \sen30^o}{2}\\
A_{KBT}=\frac{a\cdot BT}{8}\\
\boxed{BT=\frac{8\cdot A_{KBT}}{a}}[/tex3]
Agora, basta substituir o valor de [tex3]BT[/tex3] em [tex3](*)[/tex3] e vc chega no resultado.
OBS.: Essa estratégia foi motivada por uma resolução de um professor quando eu estudava no ensino médio
Última edição: rodBR (Seg 10 Jun, 2019 17:17). Total de 3 vezes.
Razão: fazer correção na escrita matemática,
Razão: fazer correção na escrita matemática,
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
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