Ensino Médio ⇒ Bissetriz do ângulo interno Tópico resolvido

[thetruthFMA]

No triângulo ABC a seguir, o segmento DE é paralelo à BC e AM é bissetriz do ângulo interno
 . A soma x + y é:

Screenshot_2019-06-05-22-58-49-01.jpeg (15.11 KiB) Exibido 1893 vezes

a) 6
b)9/2
c) 11/2
d) 15/2
e) 22/1

Resposta

---

E

[rodBR]

Pelo Teorema da Bissetriz Interna:
[tex3]\frac{3}{6}=\frac{y}{x+3}\\
\boxed{x+3=2y} \ \ (i)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3}{6}=\frac{y}{x+3}\\
\boxed{x+3=2y} \ \ (i)[/tex3]

Seja [tex3]K=DE\cap AM[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]K=DE\cap AM[/tex3]

. Como [tex3]DE//BC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]DE//BC[/tex3]

, então [tex3]\angle AEK=\angle ACM[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle AEK=\angle ACM[/tex3]

e [tex3]\angle KAE[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle KAE[/tex3]

é comum a ambos os triângulos da direita. Portanto, [tex3]\Delta AKE[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta AKE[/tex3]

~ [tex3]\Delta AMC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta AMC[/tex3]

. Analogamente, os triângulos da esquerda [tex3]\Delta AKD[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta AKD[/tex3]

~ [tex3]\Delta AMB[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta AMB[/tex3]

.

Da semelhança dos triângulos da esquerda:
[tex3]\frac{AK}{AM}=\frac{4}{6}\\
\boxed{\frac{AK}{AM}=\frac{2}{3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{AK}{AM}=\frac{4}{6}\\
\boxed{\frac{AK}{AM}=\frac{2}{3}}[/tex3]

Da semelhança dos triângulos da direita:
[tex3]\frac{AK}{AM}=\frac{x}{x+3}\\
\frac{2}{3}=\frac{x}{x+3}\\
2x+6=3x\\
\boxed{x=6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{AK}{AM}=\frac{x}{x+3}\\
\frac{2}{3}=\frac{x}{x+3}\\
2x+6=3x\\
\boxed{x=6}[/tex3]

Substituindo o valor encontrado de [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

em [tex3](i)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](i)[/tex3]

:
[tex3]x+3=2y\\
2y=6+3\\
2y=9\\
\boxed{y=\frac{9}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x+3=2y\\
2y=6+3\\
2y=9\\
\boxed{y=\frac{9}{2}}[/tex3]

Portanto,
[tex3]x+y=6+\frac{9}{2}\\
\boxed{\boxed{x+y=\frac{21}{2}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x+y=6+\frac{9}{2}\\
\boxed{\boxed{x+y=\frac{21}{2}}}[/tex3]

[thetruthFMA]

Faz sentido sua resposta mas não bate com o gabarito. Acho que deve estar errado. Obrigado por responder.