Física I ⇒ Gravitação - Lei da Gravitação Universal Tópico resolvido

[ismaelmat]

29.389 - Duas esferas homogêneas A e B tem massas MA e MB tais que MA = 9MB e a distância entre seus centros é igual a d. Determine o valor de x em função de d, sabendo que o corpo C de massa m, sob a ação exclusiva das forças gravitacionais de A e B, permanece em repouso nessa posição.

Gabarito :

Resposta

---

d/4

o meu gabarito deu 3d/4, onde estou errando?

[MateusQqMD]

Eu vou mostrar o meu desenvolvimento e você compara com o seu, ok?

As intensidades de [tex3]\vec{\text{F}}_{\text{AC}}[/tex3]

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[tex3]\vec{\text{F}}_{\text{AC}}[/tex3]

e de [tex3]\vec{\text{F}}_{\text{BC}}[/tex3]

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[tex3]\vec{\text{F}}_{\text{BC}}[/tex3]

ficam determinadas pela Lei de Newton da Atração das Massas:

[tex3]\begin{cases}
\text{F}_{\text{AC}} = \text{G} {\large\frac{\text{M}_{\text{A}}\text{M}_{\text{C}} }{\text{x}^2}} \\\\

\text{F}_{\text{BC}} = \text{G} {\large\frac{\text{M}_{\text{B}}\text{M}_{\text{C}} }{(\text{d} - \text{x})^2}}
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
\text{F}_{\text{AC}} = \text{G} {\large\frac{\text{M}_{\text{A}}\text{M}_{\text{C}} }{\text{x}^2}} \\\\

\text{F}_{\text{BC}} = \text{G} {\large\frac{\text{M}_{\text{B}}\text{M}_{\text{C}} }{(\text{d} - \text{x})^2}}
\end{cases}[/tex3]

Como queremos que o corpo C permaneça em repouso, vem:

[tex3]\text{F}_{\text{AC}} = \text{F}_{\text{BC}} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \text{G} \frac{\text{M}_{\text{A}}\text{M}_{\text{C}} }{\text{x}^2} = \text{G} \frac{\text{M}_{\text{B}}\text{M}_{\text{C}} }{(\text{d} - \text{x})^2}[/tex3]

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[tex3]\text{F}_{\text{AC}} = \text{F}_{\text{BC}} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \text{G} \frac{\text{M}_{\text{A}}\text{M}_{\text{C}} }{\text{x}^2} = \text{G} \frac{\text{M}_{\text{B}}\text{M}_{\text{C}} }{(\text{d} - \text{x})^2}[/tex3]

Substituindo [tex3]\text{M}_{\text{A}} = 9\text{M}_{\text{B}}, \,[/tex3]

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[tex3]\text{M}_{\text{A}} = 9\text{M}_{\text{B}}, \,[/tex3]

temos:

[tex3]\text{G} \frac{\text{M}_{\text{A}}\text{M}_{\text{C}} }{\text{x}^2} = \text{G} \frac{\text{M}_{\text{B}}\text{M}_{\text{C}} }{(\text{d} - \text{x})^2} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \text{G} \frac{9\text{M}_{\text{B}}\text{M}_{\text{C}} }{\text{x}^2} = \text{G} \frac{\text{M}_{\text{B}}\text{M}_{\text{C}} }{(\text{d} - \text{x})^2} [/tex3]

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[tex3]\text{G} \frac{\text{M}_{\text{A}}\text{M}_{\text{C}} }{\text{x}^2} = \text{G} \frac{\text{M}_{\text{B}}\text{M}_{\text{C}} }{(\text{d} - \text{x})^2} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \text{G} \frac{9\text{M}_{\text{B}}\text{M}_{\text{C}} }{\text{x}^2} = \text{G} \frac{\text{M}_{\text{B}}\text{M}_{\text{C}} }{(\text{d} - \text{x})^2} [/tex3]

[tex3]9(\text{d} - \text{x})^2 = \text{x}^2 \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, 3(\text{d} - \text{x}) = \text{x} \,\,\,\, \therefore \,\,\,\, \boxed{\text{x} = \frac{3\text{d}}{4}}[/tex3]

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[tex3]9(\text{d} - \text{x})^2 = \text{x}^2 \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, 3(\text{d} - \text{x}) = \text{x} \,\,\,\, \therefore \,\,\,\, \boxed{\text{x} = \frac{3\text{d}}{4}}[/tex3]

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[MateusQqMD]

Opa! Acredito que o gabarito esteja errado mesmo.

[MateusQqMD]

Apenas uma observação que eu esqueci de explicar.

Na seguinte passagem:

[tex3]9(\text{d} - \text{x})^2 = \text{x}^2 \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, 3(\text{d} - \text{x}) = \text{x} [/tex3]

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[tex3]9(\text{d} - \text{x})^2 = \text{x}^2 \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, 3(\text{d} - \text{x}) = \text{x} [/tex3]

Há duas soluções possíveis:

[tex3]1) \quad 9(\text{d} - \text{x})^2 = \text{x}^2 \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, 3(\text{d} - \text{x}) = \text{x}, \,[/tex3]

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[tex3]1) \quad 9(\text{d} - \text{x})^2 = \text{x}^2 \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, 3(\text{d} - \text{x}) = \text{x}, \,[/tex3]

o que implica [tex3]\text{x} = \frac{3\text{d}}{4}[/tex3]

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[tex3]\text{x} = \frac{3\text{d}}{4}[/tex3]

ou

[tex3]2) \quad 9(\text{d} - \text{x})^2 = \text{x}^2 \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, 3(\text{d} - \text{x}) = -\text{x}, \,[/tex3]

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[tex3]2) \quad 9(\text{d} - \text{x})^2 = \text{x}^2 \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, 3(\text{d} - \text{x}) = -\text{x}, \,[/tex3]

o que implica [tex3]\text{x} = \frac{3\text{d}}{2}[/tex3]

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[tex3]\text{x} = \frac{3\text{d}}{2}[/tex3]

Pela imagem que eu forneci (que não está coerente com a da questão), a resposta mais adequada é a segunda. Mas, levando em consideração a imagem mostrada por você, creio que a resposta mais adequada seja a primeira.

Resolvi deixar a imagem, apesar de não estar muito correta, apenas para facilitar a visualização.