Primeiro, podemos usar o T.V.I para mostrar que a função [tex3]f(x)=x^3-3x^2+6[/tex3]
possui ao menos uma raiz real. Para isso, verificamos as duas condições de aplicação:
- A função é contínua:
Esse é fácil de demonstrar, dado que [tex3]x^n, ~~n\in\mathbb{N}[/tex3]
é sempre contínua e a soma de contínuas resulta em contínua.
- Existe troca de sinal:
[tex3]f(1)=4[/tex3]
[tex3]f(-3)=-48[/tex3]
Com as duas condições satisfeitas, sabemos que
existe ao menos uma raiz real. Vamos agora provar que ela é única:
[tex3]f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)[/tex3]
[tex3]f''(x)=6x-6[/tex3]
Encontrando os zeros da derivada e verificando na segunda derivada, vemos que a função possui máximo local em [tex3]x=0[/tex3]
e mínimo local em [tex3]x=2[/tex3]
. Analisando o sinal da derivada, podemos verificar que a função é:
[tex3]\begin{cases}
\text{crescente, se} ~x<0 \\
\text{decrescente, se} ~0< x<2 \\
\text{crescente, se} ~x>2
\end{cases}[/tex3]
Fazendo um gráfico, teríamos isso:
- Única Raiz Real -1.png (2.25 KiB) Exibido 1481 vezes
Também temos que [tex3]f(2)=2[/tex3]
, então teríamos isso:
- Única Raiz Real -2.png (3.84 KiB) Exibido 1481 vezes
Dado que [tex3]x=2[/tex3]
é mínimo local, então os pontos ao redor dele estarão acima dele, após ele a função crescerá estritamente e entre 0 e 2 ela irá do máximo até o mínimo. Como esses são os únicos ponto em que a função altera seu crescimento, indo no sentido negativo de [tex3]x[/tex3]
a função irá decrescer estritamente. Logo,
ela só possuíra uma raiz, em [tex3]x <0[/tex3].
Queremos agora um intervalo que contenha essa raiz. Pra isso, podemos apenas ir testando valores e verificando intervalos no qual ela muda de sinal.
[tex3]x[/tex3]
|
[tex3]f(x)[/tex3]
|
-3 |
- 48 |
-2 |
-14 |
-1 |
2 |
0 |
6 |
Podemos ver que ocorre uma mudança de sinal no intervalo [tex3][-2,-1][/tex3]
. Logo,
o intervalo [tex3][-2,-1][/tex3] contêm a raiz.