Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
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Prof. Caju
Olimpíadas ⇒ Álgebra Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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Babi123
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Mai 2019
25
12:35
Álgebra
Sendo [tex3]a[/tex3]
um número real positivo, encontre o valor máximo de [tex3]\frac{x}{(x^2+a^2)^2}[/tex3]
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jvmago
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Mai 2019
25
13:12
Re: Álgebra
Pode usar cálclulo?
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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jvmago
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Mai 2019
25
13:29
Re: Álgebra
fazendo [tex3]f(x)=\frac{x}{(x^2+a^2)^2}[/tex3]
como trata de olimpídada então vou aloprar em calculo mesmo
[tex3]f'(x)=\frac{(x^2+a^2)^2-x*2(x^2+a^2)*(2x+0)}{(x^2+a^2)^4}[/tex3] vamos buscar as raizes dessa primeira derivada e analisar como seus sinais se comportam
[tex3]f'(x)=0=\frac{(x^2+a^2)(x^2+a^2-4x^2)}{(x^2+a^2)^4}[/tex3] podemos ver com facilidade que [tex3]x^2+a^2>0[/tex3] para qualquer valor real então precisamos analisar
[tex3]a^2-4x^2+x^2=0[/tex3]
[tex3]3x^2-a^2=0[/tex3] daqui tiramos [tex3]x=+-\frac{a}{\sqrt{3}}[/tex3]
como se trata de uma funçao quadratica temos que para [tex3]x_0=\frac{-a}{\sqrt{3}}[/tex3] [tex3]f(x_0)[/tex3] assumirá valor máximo portanto
[tex3]f(x_0)=K=\frac{\frac{-a}{\sqrt{3}}}{(\frac{a^2}{3}+a^2)^2}[/tex3]
[tex3]K=\frac{-a\sqrt{3}}{3}*\frac{9}{16a^4}[/tex3]
[tex3]f(x_0)=\frac{-3\sqrt{3}}{16a^3}[/tex3]
[tex3]PIMBADA[/tex3]
[tex3]f'(x)=\frac{(x^2+a^2)^2-x*2(x^2+a^2)*(2x+0)}{(x^2+a^2)^4}[/tex3] vamos buscar as raizes dessa primeira derivada e analisar como seus sinais se comportam
[tex3]f'(x)=0=\frac{(x^2+a^2)(x^2+a^2-4x^2)}{(x^2+a^2)^4}[/tex3] podemos ver com facilidade que [tex3]x^2+a^2>0[/tex3] para qualquer valor real então precisamos analisar
[tex3]a^2-4x^2+x^2=0[/tex3]
[tex3]3x^2-a^2=0[/tex3] daqui tiramos [tex3]x=+-\frac{a}{\sqrt{3}}[/tex3]
como se trata de uma funçao quadratica temos que para [tex3]x_0=\frac{-a}{\sqrt{3}}[/tex3] [tex3]f(x_0)[/tex3] assumirá valor máximo portanto
[tex3]f(x_0)=K=\frac{\frac{-a}{\sqrt{3}}}{(\frac{a^2}{3}+a^2)^2}[/tex3]
[tex3]K=\frac{-a\sqrt{3}}{3}*\frac{9}{16a^4}[/tex3]
[tex3]f(x_0)=\frac{-3\sqrt{3}}{16a^3}[/tex3]
[tex3]PIMBADA[/tex3]
Editado pela última vez por jvmago em 25 Mai 2019, 13:31, em um total de 1 vez.
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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snooplammer
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Babi123
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Ago 2019
08
13:35
Re: Álgebra
Sem derivar deve ser bem desafiador. 
Editado pela última vez por Babi123 em 08 Ago 2019, 13:36, em um total de 1 vez.
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undefinied3
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Ago 2019
08
16:12
Re: Álgebra
x é um número qualquer. Então podemos fazer [tex3]x=a*tg(y)[/tex3]
[tex3]\frac{a.tg(y)}{a^4.sec^4(y)}=\frac{sen(y)cos^3(y)}{a^3}[/tex3]
Então queremos maximizar [tex3]sen(y)cos^3(y)=u^3\sqrt{1-u^2}=p[/tex3]
[tex3]\frac{\frac{u^2}{3}+\frac{u^2}{3}+\frac{u^2}{3}+1-u^2}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{u^6}{27}(1-u^2)}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{4} \geq\sqrt[4]{\frac{p^2}{27}} \rightarrow p^2 \leq \frac{27}{256} \rightarrow p \leq \frac{3\sqrt{3}}{16}[/tex3]
Segue que o máximo da função pedida é [tex3]\frac{3\sqrt{3}}{16a^3}[/tex3]
[tex3]\frac{a.tg(y)}{a^4.sec^4(y)}=\frac{sen(y)cos^3(y)}{a^3}[/tex3]
Então queremos maximizar [tex3]sen(y)cos^3(y)=u^3\sqrt{1-u^2}=p[/tex3]
[tex3]\frac{\frac{u^2}{3}+\frac{u^2}{3}+\frac{u^2}{3}+1-u^2}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{u^6}{27}(1-u^2)}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{4} \geq\sqrt[4]{\frac{p^2}{27}} \rightarrow p^2 \leq \frac{27}{256} \rightarrow p \leq \frac{3\sqrt{3}}{16}[/tex3]
Segue que o máximo da função pedida é [tex3]\frac{3\sqrt{3}}{16a^3}[/tex3]
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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Babi123
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