Física I ⇒ Colisão - Força Média - Coeficiente de Restituição - Esfera x Solo Tópico resolvido

[ismaelmat]

80.334 -(Mackenzie - SP) Uma esfera de 0,5kg, abandonada de uma altura de 1,8m, choca-se com o solo. Adote g = 10m/s^2. Sabe-se que o choque dura 0,02s e que o coeficiente de restituição entre a esfera e o solo é 0,8.

Nessas condições, podemos afirmar que a forma média que age sobre a esfera durante o choque é:

a) 54N

b) 108N

c) 162N

d) 216N

e) 270N

Gabarito :

Resposta

---

e

[Planck]

Olá ismaelmat,

Primeiramente, sabemos que a força é dada por:

[tex3]F = m \cdot a[/tex3]

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[tex3]F = m \cdot a[/tex3]

Podemos desenvolver [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

para:

[tex3]F = m \cdot \frac{\Delta v}{\Delta t}[/tex3]

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[tex3]F = m \cdot \frac{\Delta v}{\Delta t}[/tex3]

Assim:

[tex3]\boxed{F = \frac{m \cdot (v_f - v_0)}{\Delta t}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{F = \frac{m \cdot (v_f - v_0)}{\Delta t}}[/tex3]

Sabemos que o coeficiente de restituição é dado por:

[tex3]e = \frac{v_f}{v_0} \; \Leftrightarrow \; e \cdot v_0 = v_f[/tex3]

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[tex3]e = \frac{v_f}{v_0} \; \Leftrightarrow \; e \cdot v_0 = v_f[/tex3]

Com isso:

[tex3]F = \frac{m \cdot (e \cdot v_0 - v_0)}{\Delta t}[/tex3]

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[tex3]F = \frac{m \cdot (e \cdot v_0 - v_0)}{\Delta t}[/tex3]

Nesse referencial, estamos adotando como positivo para baixo. Vamos inverter para considerar positivo para cima:

[tex3]F = \frac{m \cdot (e \cdot v_0 + v_0)}{\Delta t}[/tex3]

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[tex3]F = \frac{m \cdot (e \cdot v_0 + v_0)}{\Delta t}[/tex3]

Pela conservação da energia, podemos descobrir essa velocidade:

[tex3]F = \frac{m \cdot [ v_0 \cdot (e +1)]}{\Delta t}[/tex3]

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[tex3]F = \frac{m \cdot [ v_0 \cdot (e +1)]}{\Delta t}[/tex3]

[tex3]\frac{m \cdot v_0^2}{2} = m \cdot g \cdot h[/tex3]

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[tex3]\frac{m \cdot v_0^2}{2} = m \cdot g \cdot h[/tex3]

[tex3]v_0 = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 1,8}[/tex3]

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[tex3]v_0 = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 1,8}[/tex3]

[tex3]v_0 = 6 \; [m/s][/tex3]

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[tex3]v_0 = 6 \; [m/s][/tex3]

Logo, obtemos que:

[tex3]F = \frac{0,5 \cdot [ 6 \cdot (0,8 +1)]}{0,02}[/tex3]

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[tex3]F = \frac{0,5 \cdot [ 6 \cdot (0,8 +1)]}{0,02}[/tex3]

[tex3]{\color{forestgreen}\boxed{F = 270 \; [N]}}[/tex3]

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[tex3]{\color{forestgreen}\boxed{F = 270 \; [N]}}[/tex3]

[MateusQqMD]

E aí, Ismael

Primeiramente vamos começar determinando a velocidade com a qual a esfera atinge o solo:

[tex3]\text{v}^2 = \text{v}_0^2 + 2 \cdot \text{a} \cdot \Delta \text{s} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \text{v}^2 = 0 + 2 \cdot 10 \cdot 1,8 \,\,\,\, \therefore \,\,\,\, \boxed{\text{v} = 6 \, \text{m/s}}[/tex3]

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[tex3]\text{v}^2 = \text{v}_0^2 + 2 \cdot \text{a} \cdot \Delta \text{s} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \text{v}^2 = 0 + 2 \cdot 10 \cdot 1,8 \,\,\,\, \therefore \,\,\,\, \boxed{\text{v} = 6 \, \text{m/s}}[/tex3]

Agora, se o coeficiente de restituição entre a esfera e o solo é [tex3]0,8, \,[/tex3]

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[tex3]0,8, \,[/tex3]

podemos escrever:

[tex3]\text{e} = \frac{|\text{v}_{\text{f}}| }{ |\text{v}_{\text{i}}| } \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, 0,8 = \frac{|\text{v}_{\text{f}}| }{ 6 } \,\,\,\, \therefore \,\,\,\, \boxed{|\text{v}_{\text{f}}| = 4,8 \, \text{m/s}}[/tex3]

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[tex3]\text{e} = \frac{|\text{v}_{\text{f}}| }{ |\text{v}_{\text{i}}| } \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, 0,8 = \frac{|\text{v}_{\text{f}}| }{ 6 } \,\,\,\, \therefore \,\,\,\, \boxed{|\text{v}_{\text{f}}| = 4,8 \, \text{m/s}}[/tex3]

Aplicando à esfera o Teorema do Impulso, vem:

[tex3]\vec{\text{I}} = \Delta \vec{\text{Q}} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \vec{\text{I}} = \text{m} \cdot \Delta \vec{\text{v}}[/tex3]

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[tex3]\vec{\text{I}} = \Delta \vec{\text{Q}} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \vec{\text{I}} = \text{m} \cdot \Delta \vec{\text{v}}[/tex3]

Mas sabemos que

[tex3]\vec{\text{I}} = \vec{\text{F}_{\text{m}}} \Delta \text{t}[/tex3]

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[tex3]\vec{\text{I}} = \vec{\text{F}_{\text{m}}} \Delta \text{t}[/tex3]

Daí,

[tex3]|\vec{\text{F}_{\text{m}}}| \cdot 0,02 = 0,5 \cdot|\Delta \vec{\text{v}}| \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, |\vec{\text{F}_{\text{m}}}| \cdot 0,02 = 0,5 \cdot | - 4,8 - 6 | \,\,\,\, \therefore \,\,\,\, \boxed{|\vec{\text{F}_{\text{m}}}| = 270 \, \text{N}}[/tex3]

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[tex3]|\vec{\text{F}_{\text{m}}}| \cdot 0,02 = 0,5 \cdot|\Delta \vec{\text{v}}| \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, |\vec{\text{F}_{\text{m}}}| \cdot 0,02 = 0,5 \cdot | - 4,8 - 6 | \,\,\,\, \therefore \,\,\,\, \boxed{|\vec{\text{F}_{\text{m}}}| = 270 \, \text{N}}[/tex3]

[MateusQqMD]

Nesse referencial, estamos adotando como positivo para baixo.

Acredito que seja necessário considerar o valor em módulo. Adotando-se o sentido positivo seja para baixo, temos que [tex3]\vec{\text{F}_{\text{m}}} = - 270 \, \text{N}, \, [/tex3]

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[tex3]\vec{\text{F}_{\text{m}}} = - 270 \, \text{N}, \, [/tex3]

já que essa força age em sentido contrário ao adotado.

[Planck]

Nesse referencial, estamos adotando como positivo para baixo.

Acredito que seja necessário considerar o valor em módulo. Adotando-se o sentido positivo seja para baixo, temos que [tex3]\vec{\text{F}_{\text{m}}} = - 270 \, \text{N}, \, [/tex3]

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[tex3]\vec{\text{F}_{\text{m}}} = - 270 \, \text{N}, \, [/tex3]

já que essa força age em sentido contrário ao adotado.

Faz total sentido, acredito que confundi esses referenciais. Aliás, ótima resolução!