Física I

Mensagem não lidapor **kagenizio** » 04 Mai 2019, 18:23 · Mensagem não lida por **kagenizio** » 04 Mai 2019, 18:23

O cabo de um elevador de 20 kN rompe-se, quando ele está parado no primeiro andar, de modo que o piso do elevador encontra-se a uma distância d = 3, 5 m acima de uma mola amortecedora, cuja constante de mola é k = 150 kN/m. Um sistema de segurança prende os trilhos laterais que servem de guia, de modo que uma força de atrito constante de 4,5 kN opõe-se ao movimento do elevador após o rompimento do cabo. Determine:

(a) A velocidade do elevador imediatamente antes de atingir a mola;
(b) A deformação máxima da mola ;
(c) A altura que o elevador subirá de volta, a partir da posição inicial
da mola relaxada;
(d) A distância total, aproximada, percorrida pelo elevador antes de
parar totalmente, utilizando, para isto, o princípio da conservação de energia. Porque esta resposta não é exata?

Resposta

(a) v = 7, 4 m/s;
(b) d = 0, 96 m;
(c) y = 1, 86 m;

Mensagem não lidapor **Planck** » 04 Mai 2019, 19:55 · Mensagem não lida por **Planck** » 04 Mai 2019, 19:55

Olá kagenizio,

Inicialmente, precisamos encontrar a aceleração do elevador para sabermos a velocidade que ele terá imediatamente antes de atingir a mola. Podemos fazer que:

[tex3]F_P - F_{at}=F_r[/tex3]

Vou manter em [tex3][kN][/tex3] :

[tex3]20 - 4,5=F_r[/tex3]

[tex3]F_r = 15,5 [kN][/tex3]

Ou:

[tex3]F_r = 15,5 \cdot 10^3 [N][/tex3]

Podemos encontrar a massa do elevador:

[tex3]20 \cdot 10^3 = m \cdot \pi^2[/tex3]

Utilizei [tex3]\pi^2[/tex3] para o valor da gravidade por conta da precisão.

[tex3]m = 20 26,42[g][/tex3]

Assim:

[tex3]20 26,42 \cdot a = 15,5 \cdot 10^3[/tex3]

[tex3]a = 7,649[/tex3]

A velocidade final pode ser encontrada por Torriceli:

[tex3]v_f^2 = \cancelto0{ v_i^2} + 2 \cdot a \cdot \Delta s[/tex3]

[tex3]v_f^ 2 = 2 \cdot 7,649 \cdot 3,5[/tex3]

[tex3]\boxed{v_f \approx 7,317 [m/s]}[/tex3]

Se utilizarmos [tex3]g=10[m/s^2][/tex3] , a velocidade bate com o gabarito.

Para encontrar a deformação da mola, vamos usar a seguinte ideia:

[tex3]\underbrace{\frac{m \cdot v^2}{2}}_{E_c}-\overbrace{F_{at} \cdot x}^{E_{diss}} =\underbrace{\frac{k \cdot x^2}{2}}_{E_{p}}[/tex3]

Substituindo os dados:

[tex3]\frac{20 26,42 \cdot \overbrace{(2 \cdot 7,649 \cdot 3,5)}^{v_f^2}}{2} -4,5 \cdot 10^3 \cdot x = \frac{150 \cdot 10^3 \cdot x^2}{2}[/tex3]

Vamos ficar com a seguinte equação do segundo grau:

[tex3]20 26,42 \cdot 54,25 - 2 \cdot 4,5 \cdot 10^3 \cdot x -150 \cdot 10^3 \cdot x^2=0[/tex3]

Ou ainda:

[tex3]108500,60 -4500 \cdot x -150000 \cdot x^2[/tex3]

As raízes eu roubei na calculadora, esses números vieram do inferno:

[tex3]x_1 \approx 0,83[m][/tex3]

[tex3]x_2 \approx -0,86[m][/tex3]

Apenas a primeira raiz é válida. A segunda informaria que a mola foi estendida. Para encontrarmos a altura que o elevador subirá, podemos fazer:

[tex3]\frac{k \cdot x^2}{2}=m\cdot g \cdot h - F_{at} \cdot h[/tex3]

Desse modo:

[tex3]\frac{150 \cdot 10^3 \cdot (0,83)^2}{2}=20 26,42\cdot 10 \cdot h - 4,5 \cdot 10^3\cdot h[/tex3]

[tex3]h \approx 3,28[m][/tex3]

O elevador subirá, a partir da mola relaxada, a seguinte altura:

[tex3]\boxed{h'=3,28 - 0,83 \Rightarrow 2,45[m]}[/tex3]

A distância total percorrida pelo elevador, antes de parar totalmente pode ser calculada por:

[tex3]m \cdot g \cdot (h+x')= F_{at} \cdot d[/tex3]

Isolando [tex3]d[/tex3] :

[tex3]d= \frac {m \cdot g \cdot (h+x')}{F_{at}}[/tex3]

O valor de [tex3]x'[/tex3] será a deformação que a mola irá sofrer quando o elevador para sobre ela (totalmente), ou seja a força peso será igual a força elástica:

[tex3]m \cdot g = k \cdot x'[/tex3]

[tex3]x'= \frac{m \cdot g}{k}[/tex3]

Com essa informação, chegamos a:

[tex3]d= \frac {m \cdot g \cdot (h+\frac{m \cdot g}{k})}{F_{at}}[/tex3]

Substituindo os dados:

[tex3]d= \frac {20 26,42 \cdot \pi^2 \cdot (3,28+\frac{20 26,42 \cdot \pi^2}{150 \cdot 10^3})}{4,5 \cdot 10^3}[/tex3]

Após os torturantes cálculos:

[tex3]\boxed{d \approx 15,17 [m]}[/tex3]

Possivelmente, a resposta não sai exata por causa dos valores que adotamos para gravidade e por causa das raízes da (maldita) equação do segundo grau.

Mensagem não lidapor **kagenizio** » 04 Mai 2019, 21:50 · Mensagem não lida por **kagenizio** » 04 Mai 2019, 21:50

Olá Planck!

Eu consegui fazer essa questão até o item b, e cheguei no mesmo resultado em b. Fiz pela a ideia:

[tex3]E_{cin}+E_{pot_g}-E_{pot_e}=T _{fat}[/tex3]
[tex3]\frac{mv^{2}}{2}+mgh-\frac{kx^{2}}{2}=F_{at}.d[/tex3]

[tex3]\frac{2.10^{3}.(7,4)^{2}}{2}+2.10^{3}.10.x-\frac{150.10^{3}.x^{2}}{2}=4,5.10^{3}.x[/tex3]
[tex3]75x^{2}-15,5x-54,76=0[/tex3]

Pra encontrar essas raízes também corri para a cálculadora

[tex3]x_1 \approx -0,76 m[/tex3] e [tex3]\boxed {x_2\approx0,96 m}[/tex3]

Mas, eu travei no item c, fiz assim:

[tex3]E_{pot_g}-E_{pot_e}=T_{at}[/tex3]

[tex3]m.g.h_{total}-\frac{kx^{2}}{2}=F_{at}.h_{total}[/tex3]

[tex3]2.10^{3}.10.h_{total}-\frac{150.10^{3}.(0,96)^{2}}{2}=4,5.10^{3}.h_{total}[/tex3]
[tex3]20.h_{total}-69,12=4,5.h_{total}[/tex3]
[tex3]15,5.h_{total}=69,12[/tex3]

[tex3]h_{total}\approx4,46m[/tex3]

[tex3]h_{total}= h+x_2[/tex3]

[tex3]\boxed{h= 3,5 m}[/tex3]

O valor de h deveria ser 1,86 m, o que está errado em meu raciocínio?

Mensagem não lidapor **Planck** » 05 Mai 2019, 00:29 · Mensagem não lida por **Planck** » 05 Mai 2019, 00:29

kagenizio escreveu: ↑04 Mai 2019, 21:50 O valor de h deveria ser 1,86 m, o que está errado em meu raciocínio?

Acredito que encontrei meu erro também! Tente fazer da seguinte forma:

[tex3]m \cdot g \cdot (h + x) - \frac{k \cdot x^2}{2} = -F_{at} \cdot (h+x)[/tex3]

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