Em relação a função F(x,y) = x²+xy+y²+3x-3y+4, podemos afirmar que:
a) não possui pontos críticos
b) os seus valores máximo e mínimo locais são inversos
c) o seu valor máximo local é menor que 2
d) o seu valor mínimo local é menor que -4
e) apresenta em (-3,3), um ponto de sela.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Superior ⇒ Calculo II Funções Tópico resolvido
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Abr 2019
10
14:19
Re: Calculo II Funções
Olá CabeçãoMG, depois resolverei esta questão, bateria do celular está descarregando
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Abr 2019
19
00:02
Re: Calculo II Funções
Observe
Solução:
F( x , y ) = x² + xy + y² + 3x - 3y + 4
Calculando as derivadas parciais, vem;
[tex3]\frac{\partial F}{\partial x}=2x+y+3[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=2[/tex3]
e
[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)=\frac{\partial }{\partial y}(2x+y+3)=1[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}=1[/tex3]
Ainda;
[tex3]\frac{\partial F}{\partial y}=x+2y-3[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}=2[/tex3]
e
[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)=\frac{\partial }{\partial x}(x+2y-3)=1[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}=1[/tex3]
Então;
[tex3]\begin{cases}
\frac{\partial F}{\partial x}=0 \\
\frac{\partial F}{\partial y}=0
\end{cases}→\begin{cases}
2x+y+3=0 \\
x+2y-3=0
\end{cases}→\begin{cases}
2x+y=-3 \\
x+2y=3 \ ×(-2)
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
\cancel{2x}+y=-3 \ (I) \\
\cancel{-2x}-4y=-6
\end{cases}[/tex3]
----------------------------------
- 3y = - 9
y = 3
Substituindo y = 3 em ( I ) , fica;
2x + 3 = - 3 → 2x = - 6 → x = - 3
Assim, a função tem como ponto crítico o ponto ( - 3 , 3 ). Com esse resultado encontrado , já podemos descartar as alternativas a) , b) e e).
Vamos então calcular o determinante da matriz hessiana, temos:
[tex3]H(x,y)=\left[ \begin{array}{rrcccrr}
\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(x,y) &&& \frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}(x,y)\\
\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}(x,y) &&& \frac{\partial^2 F}{\partial y^2}(x,y) \\
\end{array} \right][/tex3]
[tex3]H(x,y)=\left[ \begin{array}{rrcccrr}
2 &&& 1\\
1 &&& 2\\
\end{array} \right]=4-1=3[/tex3]
Como H( - 3 , 3 ) = 3 > 0 e [tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(-3,3)=2>0[/tex3] , então ( - 3 , 3 ) é um ponto de mínimo local de F, daí;
F( - 3 , 3 ) = ( - 3 )^2 + ( - 3 ).3 + 3² + 3.( - 3 ) - 3.3 + 4
F( - 3 , 3 ) = 9 - 9 + 9 - 9 - 9 + 4
F( - 3 , 3 ) = - 5 ( valor mínimo local de F )
Portanto, o seu valor mínimo local é menor que - 4 , alternativa d).
Bons estudos!
Solução:
F( x , y ) = x² + xy + y² + 3x - 3y + 4
Calculando as derivadas parciais, vem;
[tex3]\frac{\partial F}{\partial x}=2x+y+3[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=2[/tex3]
e
[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)=\frac{\partial }{\partial y}(2x+y+3)=1[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}=1[/tex3]
Ainda;
[tex3]\frac{\partial F}{\partial y}=x+2y-3[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}=2[/tex3]
e
[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)=\frac{\partial }{\partial x}(x+2y-3)=1[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}=1[/tex3]
Então;
[tex3]\begin{cases}
\frac{\partial F}{\partial x}=0 \\
\frac{\partial F}{\partial y}=0
\end{cases}→\begin{cases}
2x+y+3=0 \\
x+2y-3=0
\end{cases}→\begin{cases}
2x+y=-3 \\
x+2y=3 \ ×(-2)
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
\cancel{2x}+y=-3 \ (I) \\
\cancel{-2x}-4y=-6
\end{cases}[/tex3]
----------------------------------
- 3y = - 9
y = 3
Substituindo y = 3 em ( I ) , fica;
2x + 3 = - 3 → 2x = - 6 → x = - 3
Assim, a função tem como ponto crítico o ponto ( - 3 , 3 ). Com esse resultado encontrado , já podemos descartar as alternativas a) , b) e e).
Vamos então calcular o determinante da matriz hessiana, temos:
[tex3]H(x,y)=\left[ \begin{array}{rrcccrr}
\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(x,y) &&& \frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}(x,y)\\
\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}(x,y) &&& \frac{\partial^2 F}{\partial y^2}(x,y) \\
\end{array} \right][/tex3]
[tex3]H(x,y)=\left[ \begin{array}{rrcccrr}
2 &&& 1\\
1 &&& 2\\
\end{array} \right]=4-1=3[/tex3]
Como H( - 3 , 3 ) = 3 > 0 e [tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(-3,3)=2>0[/tex3] , então ( - 3 , 3 ) é um ponto de mínimo local de F, daí;
F( - 3 , 3 ) = ( - 3 )^2 + ( - 3 ).3 + 3² + 3.( - 3 ) - 3.3 + 4
F( - 3 , 3 ) = 9 - 9 + 9 - 9 - 9 + 4
F( - 3 , 3 ) = - 5 ( valor mínimo local de F )
Portanto, o seu valor mínimo local é menor que - 4 , alternativa d).
Bons estudos!
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