Ensino Médio ⇒ Circunferência Tópico resolvido

[Angelita]

Calcule a medida do arco ED.

66a.PNG (23.13 KiB) Exibido 755 vezes

a)45°
b)75°
c)53°
d)82°
e)60°

Resposta

---

e

[csmarcelo]

Não sou mestre em demonstrações geométricas, então, se ficar alguma lacuna que você não compreenda, me avise.

Untitled (1).png (50 KiB) Exibido 651 vezes

Por Pitágoras

[tex3]{\color{red}h^2=r^2-\(\frac{r}{2}\)^2\therefore h=\frac{r\sqrt{3}}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{\color{red}h^2=r^2-\(\frac{r}{2}\)^2\therefore h=\frac{r\sqrt{3}}{2}}[/tex3]

Pela lei dos cossenos

[tex3]\(2\cancel{r}{\color{red}\frac{r\sqrt{3}}{2}}\)^2=2r^2-2r^2\cos\alpha[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\(2\cancel{r}{\color{red}\frac{r\sqrt{3}}{2}}\)^2=2r^2-2r^2\cos\alpha[/tex3]

Daí

[tex3]\alpha=120^\circ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha=120^\circ[/tex3]

Logo

[tex3]\beta=30^\circ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\beta=30^\circ[/tex3]

Consequentemente

[tex3]\delta=60^\circ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\delta=60^\circ[/tex3]

Com isso

[tex3]EFP\equiv EBC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]EFP\equiv EBC[/tex3]

por [tex3]LAA[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]LAA[/tex3]

Agora, acho que já dá para perceber que

1) [tex3]m(\overline{PB})=m(\overline{FE})+m(\overline{EC})=r[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m(\overline{PB})=m(\overline{FE})+m(\overline{EC})=r[/tex3]

2) por simetria, APB são colineares.

Portanto, se deslocarmos [tex3]C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C[/tex3]

até [tex3]P[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P[/tex3]

, [tex3]E[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]E[/tex3]

e [tex3]D[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]D[/tex3]

coincidirão com [tex3]A[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A[/tex3]

e [tex3]B[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B[/tex3]

.

Logo

[tex3]m(\overline{ED})=m(\overline{AB})=2r\rightarrow m(\angle EOD)=m(\angle AOB)=60^\circ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m(\overline{ED})=m(\overline{AB})=2r\rightarrow m(\angle EOD)=m(\angle AOB)=60^\circ[/tex3]

[jvmago]

Não sou mestre em demonstrações geométricas, então, se ficar alguma lacuna que você não compreenda, me avise.

Untitled.png

Pela lei dos cossenos

[tex3](2r)^2=2r^2-2r^2\cos\alpha[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](2r)^2=2r^2-2r^2\cos\alpha[/tex3]

Daí

[tex3]\alpha=120^\circ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha=120^\circ[/tex3]

Logo

[tex3]\beta=30^\circ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\beta=30^\circ[/tex3]

Consequentemente

[tex3]\delta=60^\circ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\delta=60^\circ[/tex3]

Com isso

[tex3]EFP\equiv EBC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]EFP\equiv EBC[/tex3]

por [tex3]LAA[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]LAA[/tex3]

Agora, acho que já dá para perceber que

1) [tex3]m(\overline{PB})=m(\overline{FE})+m(\overline{EC})=r[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m(\overline{PB})=m(\overline{FE})+m(\overline{EC})=r[/tex3]

2) por simetria, APB são colineares.

Portanto, se deslocarmos [tex3]C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C[/tex3]

até [tex3]P[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P[/tex3]

, [tex3]E[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]E[/tex3]

e [tex3]D[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]D[/tex3]

coincidirão com [tex3]A[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A[/tex3]

e [tex3]B[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B[/tex3]

.

Logo

[tex3]m(\overline{ED})=m(\overline{AB})=2r\rightarrow m(\angle EOD)=m(\angle AOB)=60^\circ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m(\overline{ED})=m(\overline{AB})=2r\rightarrow m(\angle EOD)=m(\angle AOB)=60^\circ[/tex3]

Você fez uma coisa quase impossível, mostrar o quão poética e linda uma boa questão de geometria pode ser!!! BEM JOGADO!!

[csmarcelo]

Fiz?

[Auto Excluído (ID:12031)]

Não sou mestre em demonstrações geométricas, então, se ficar alguma lacuna que você não compreenda, me avise.

Untitled.png

Pela lei dos cossenos

[tex3](2r)^2=2r^2-2r^2\cos\alpha[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](2r)^2=2r^2-2r^2\cos\alpha[/tex3]

certeza que é (2r) o lado dessa lei dos cossenos ai?

[csmarcelo]

Não sei porque faço isso. Desenvolvo certo no papel, mas na hora de passar pra cá me dá umas loucuras...

Independentemente disso, a conclusão [tex3]\alpha=120^\circ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha=120^\circ[/tex3]

está correta. Vou corrigir essa parte.

[Auto Excluído (ID:12031)]

Isso é bem real, comigo geralmente é o contrário: às vezes acho que resolvo melhor digitando do que escrevendo. Bem doido isso

[csmarcelo]

Corrigido!

Isso é bem real, comigo geralmente é o contrário: às vezes acho que resolvo melhor digitando do que escrevendo. Bem doido isso

Comigo também é assim, acredito que é porque estamos pensando enquanto estamos escrevendo.

Quando vou para o papel, acho que eu entro num modo automático e transcrevo sem nem pensar no que estou fazendo. Se perco o foco, o que é bem normal, saem essas coisas sem pé nem cabeça.