Olá
lookez,
Uma solução é encontrar a equação da reta que passa pelos pontos [tex3](0, \,10)[/tex3]
e [tex3](6, \,0)[/tex3]
e encontrar a equação da reta perpendicular a essa, passando pela origem e pelo ponto de tangência entre a reta descendente e a circunferência:
Para a reta descendente:
[tex3]f(x)=a\cdot x + b[/tex3]
[tex3]0=a\cdot 6 + 10[/tex3]
[tex3]a=-\frac{5}{3}[/tex3]
[tex3]\boxed{f(x)=-\frac{5}{3}\cdot x+10}[/tex3]
Vamos determinar a reta perpendicular a essa e que passe pela origem:
[tex3]g(x)= a\cdot x + \cancelto0b[/tex3]
, [tex3]P(0, \,0)[/tex3]
[tex3]y-y_0=a\cdot(x-x_0)[/tex3]
[tex3]y=a\cdot x[/tex3]
Mas, temos uma relação entre coeficientes angulares perpendiculares:
[tex3]m_1 \cdot m_2=-1[/tex3]
[tex3]-\frac{5}{3} \cdot m_2=-1[/tex3]
[tex3]m_2= \frac{3}{5}[/tex3]
Ou seja:
[tex3]\boxed{g(x)= \frac{3}{5}\cdot x}[/tex3]
Vamos determinar o ponto de tangência, fazendo:
[tex3]f(x)=g(x)[/tex3]
[tex3]-\frac{5}{3}\cdot x+10= \frac{3}{5}\cdot x[/tex3]
Após os cálculos:
[tex3]x=\frac{75}{17}[/tex3]
Portanto, o ponto de tangência é do tipo:
[tex3]\left(\frac{75}{17}, \, k \right)[/tex3]
Podemos encontrar [tex3]k[/tex3]
substituindo a coordenada em [tex3]x[/tex3]
em qualquer uma das equações:
[tex3]g(k)= \frac{3}{5}\cdot \frac{75}{17}[/tex3]
[tex3]g(k)=\frac{45}{17}[/tex3]
O ponto de tangência é, então:
[tex3]\left(\frac{75}{17}, \, \frac{45}{17} \right)[/tex3]
O vetor unitário [tex3]\vec A[/tex3]
é dado por:
[tex3]\vec u= \frac{\vec A}{|\vec A|}[/tex3]
O vetor [tex3]\vec A[/tex3]
pode ser definido por:
[tex3]\vec A = d_x \hat i + d_y \hat j[/tex3]
E:
[tex3]|\vec A|=\sqrt{(d_x \hat i )^2 + (d_y \hat j)^2}[/tex3]
Portanto:
[tex3]\vec u= \frac{d_x \hat i + d_y \hat j}{\sqrt{(d_x \hat i )^2 + (d_y \hat j)^2}}[/tex3]
[tex3]\vec u= \frac{\frac{75}{17} \hat i + \frac{45}{17} \hat j}{\sqrt{(\frac{75}{17}\hat i )^2 + (\frac{45}{17} \hat j)^2}}[/tex3]
[tex3]\vec u= \frac{\frac{75}{17} \hat i + \frac{45}{17} \hat j}{-\frac{15\sqrt{34}}{17}}[/tex3]
[tex3]\vec u= \frac{75}{17} \hat i + \frac{45}{17} \hat j\cdot-\frac{17}{15\sqrt{34}}[/tex3]
[tex3]\vec u= 75 \hat i + 45 \hat j\cdot-\frac{1}{15\sqrt{34}}[/tex3]
[tex3]{\color{forestgreen}\boxed{\vec u=-\frac{1}{\sqrt{34}}(5\hat i+ 3 \hat j)}}[/tex3]
O que foi feito:
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