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Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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FISMAQUIM
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Mar 2019
15
07:52
Prisma
Na figura, tem-se representado um prisma de faces retangulares, com arestas medindo 8 cm, 2 cm e 4 cm, conforme mostrado a seguir. Se o ponto P é a interseção das diagonais da face CDGH, qual é o menor caminho que liga A e P e está contido na superfície do prisma?
Editado pela última vez por csmarcelo em 15 Mar 2019, 09:47, em um total de 1 vez.
Razão: alterar título
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Planck
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Mar 2019
15
10:30
Re: Prisma
Olá FISMAQUIM,
Você tem o gabarito? Cheguei ao resultado de [tex3]2\sqrt{5}+2[/tex3]
Inicialmente, a menor distância entre dois pontos é uma reta, logo, tracei um segmento [tex3]\overline{AP}.[/tex3] Contudo, foi dito que o menor caminho que liga A e P está contido na superfície do prisma, então fiz:
Note o triângulo [tex3]AIP[/tex3]
, a soma [tex3]AI+IP[/tex3]
nos dará o menor caminho passando pelas faces. Portanto:
Temos que [tex3]I[/tex3] é o ponto médio do lado [tex3]DC[/tex3] , então [tex3]ID=4[cm][/tex3]
Olhando o triângulo [tex3]ADI[/tex3] , podemos encontrar [tex3]AI[/tex3] pelo Teorema de Pitágoras:
[tex3]ID^2+AD^2=AI^2[/tex3]
Após os cálculos, chegamos a [tex3]\boxed{AI=2\sqrt{5}[cm]}[/tex3]
Além disso, [tex3]\boxed{IP=\frac{HC}{2}=2[cm]}[/tex3]
Assim, concluímos que:
[tex3]AI+IP=AI=\boxed{2\sqrt{5}[cm]+2[cm]}[/tex3]
Você tem o gabarito? Cheguei ao resultado de [tex3]2\sqrt{5}+2[/tex3]
Inicialmente, a menor distância entre dois pontos é uma reta, logo, tracei um segmento [tex3]\overline{AP}.[/tex3] Contudo, foi dito que o menor caminho que liga A e P está contido na superfície do prisma, então fiz:
- geogebra-export (5).png (36.87 KiB) Exibido 1586 vezes
Temos que [tex3]I[/tex3] é o ponto médio do lado [tex3]DC[/tex3] , então [tex3]ID=4[cm][/tex3]
Olhando o triângulo [tex3]ADI[/tex3] , podemos encontrar [tex3]AI[/tex3] pelo Teorema de Pitágoras:
[tex3]ID^2+AD^2=AI^2[/tex3]
Após os cálculos, chegamos a [tex3]\boxed{AI=2\sqrt{5}[cm]}[/tex3]
Além disso, [tex3]\boxed{IP=\frac{HC}{2}=2[cm]}[/tex3]
Assim, concluímos que:
[tex3]AI+IP=AI=\boxed{2\sqrt{5}[cm]+2[cm]}[/tex3]
Editado pela última vez por Planck em 15 Mar 2019, 10:54, em um total de 2 vezes.
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csmarcelo
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Mar 2019
15
11:19
Re: Prisma
Se
1) [tex3]x[/tex3] é a distância [tex3]DI[/tex3]
2) [tex3]f[/tex3] a função que determina o comprimento de [tex3]AI[/tex3] em função de [tex3]x[/tex3]
3) [tex3]g[/tex3] a função que determina o comprimento de [tex3]PI[/tex3] em função de [tex3]x[/tex3]
[tex3]f(x)=\sqrt{x^2+4}[/tex3]
[tex3]g(x)=\sqrt{(4-x)^2+2^2}=\sqrt{x^2-8x+20}[/tex3]
Logo
[tex3]f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}[/tex3]
[tex3]g'(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x^2-8x+20}}[/tex3]
Como
[tex3](f+g)'=f'(x)+g'(x)[/tex3]
Temos que
[tex3](f+g)'=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}+\frac{x+2}{\sqrt{x^2-8x+20}}[/tex3]
So não sei continuar daqui... jogando no Geogebra, ele deu o menor valor da expressão, dada a restrição [tex3]x>0[/tex3] , quando [tex3]x=2[/tex3] .
[tex3]f(2)=\sqrt{2^2+4}=2\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]g(2)=\sqrt{2^2-8\cdot2+20}=2\sqrt{2}[/tex3]
Dando-nos, portanto, uma distância de [tex3]4\sqrt{2}[/tex3] centímetros quando [tex3]m(\overline{DI})=2[/tex3] .
Deve haver uma maneira mais simples.
1) [tex3]x[/tex3] é a distância [tex3]DI[/tex3]
2) [tex3]f[/tex3] a função que determina o comprimento de [tex3]AI[/tex3] em função de [tex3]x[/tex3]
3) [tex3]g[/tex3] a função que determina o comprimento de [tex3]PI[/tex3] em função de [tex3]x[/tex3]
[tex3]f(x)=\sqrt{x^2+4}[/tex3]
[tex3]g(x)=\sqrt{(4-x)^2+2^2}=\sqrt{x^2-8x+20}[/tex3]
Logo
[tex3]f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}[/tex3]
[tex3]g'(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x^2-8x+20}}[/tex3]
Como
[tex3](f+g)'=f'(x)+g'(x)[/tex3]
Temos que
[tex3](f+g)'=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}+\frac{x+2}{\sqrt{x^2-8x+20}}[/tex3]
So não sei continuar daqui... jogando no Geogebra, ele deu o menor valor da expressão, dada a restrição [tex3]x>0[/tex3] , quando [tex3]x=2[/tex3] .
[tex3]f(2)=\sqrt{2^2+4}=2\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]g(2)=\sqrt{2^2-8\cdot2+20}=2\sqrt{2}[/tex3]
Dando-nos, portanto, uma distância de [tex3]4\sqrt{2}[/tex3] centímetros quando [tex3]m(\overline{DI})=2[/tex3] .
Deve haver uma maneira mais simples.
Editado pela última vez por csmarcelo em 15 Mar 2019, 11:28, em um total de 2 vezes.
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csmarcelo
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Mar 2019
15
11:23
Re: Prisma
Ah...[tex3]I[/tex3]
também poderia correr por [tex3]DG[/tex3]
, mas isso nos daria [tex3]g_2(x)=\sqrt{x^2-4x+20}[/tex3]
, o que retorna valores que [tex3]g(x)[/tex3]
para um mesmo [tex3]x[/tex3]
. Logo, encontraremos o menor caminho com [tex3]I[/tex3]
em [tex3]DC[/tex3]
mesmo.
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FISMAQUIM
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Mar 2019
15
11:25
Re: Prisma
Não tenho o gabaritoPlanck escreveu: ↑15 Mar 2019, 10:30 Olá FISMAQUIM,
Você tem o gabarito? Cheguei ao resultado de [tex3]2\sqrt{5}+2[/tex3]
Inicialmente, a menor distância entre dois pontos é uma reta, logo, tracei um segmento [tex3]\overline{AP}.[/tex3] Contudo, foi dito que o menor caminho que liga A e P está contido na superfície do prisma, então fiz:
geogebra-export (5).png
Note o triângulo [tex3]AIP[/tex3] , a soma [tex3]AI+IP[/tex3] nos dará o menor caminho passando pelas faces. Portanto:
Temos que [tex3]I[/tex3] é o ponto médio do lado [tex3]DC[/tex3] , então [tex3]ID=4[cm][/tex3]
Olhando o triângulo [tex3]ADI[/tex3] , podemos encontrar [tex3]AI[/tex3] pelo Teorema de Pitágoras:
[tex3]ID^2+AD^2=AI^2[/tex3]
Após os cálculos, chegamos a [tex3]\boxed{AI=2\sqrt{5}[cm]}[/tex3]
Além disso, [tex3]\boxed{IP=\frac{HC}{2}=2[cm]}[/tex3]
Assim, concluímos que:
[tex3]AI+IP=AI=\boxed{2\sqrt{5}[cm]+2[cm]}[/tex3]
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csmarcelo
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Mar 2019
15
13:57
Re: Prisma
Consegui provar, mas ainda assim acho que existe outra alternativa, pois achei a explicação meio rebuscada.
[tex3]f(x)=\sqrt{x^2+4}[/tex3]
[tex3]g(x)=\sqrt{(4-x)^2+4}[/tex3]
Logo,
[tex3]g(x)=f(4-x)[/tex3]
Ou seja, as funções diferenciam-se apenas por um deslocamento horizontal.
Isso quer dizer que a menor soma [tex3]f(x)+g(x)[/tex3]
ocorrerá quando [tex3]f(x)=g(x)[/tex3]
(na imagem, o ponto A)? Porquê?
Se você se deslocar desse ponto, seja para a direita ou para a esquerda, haverá tanto variação de [tex3]f(x)[/tex3] quanto de [tex3]g(x)[/tex3] . No intervalo possível de [tex3]x[/tex3] , uma função aumentará de valor e a outra diminuirá. Como a taxa de variação da função que aumenta é maior que a da que diminui, o resultado da soma ficará cada vez maior.
Como provar que a taxa de variação aumenta junto com o crescimento de [tex3]y[/tex3] (quando [tex3]a>0[/tex3] )?
Se [tex3]f(x)=ax^2+bx+c[/tex3] , então [tex3]f'(x)=2ax+b[/tex3] .
Se [tex3]a[/tex3] é positivo, [tex3]f'(x)[/tex3] é uma reta com coeficiente angular positivo, logo, [tex3]f'(x)[/tex3] crescerá quando [tex3]x[/tex3] crescer (e diminuirá quando [tex3]x[/tex3] diminuir).
[tex3]f(x)=\sqrt{x^2+4}[/tex3]
[tex3]g(x)=\sqrt{(4-x)^2+4}[/tex3]
Logo,
[tex3]g(x)=f(4-x)[/tex3]
Ou seja, as funções diferenciam-se apenas por um deslocamento horizontal.
- Untitled.png (30.8 KiB) Exibido 1572 vezes
Se você se deslocar desse ponto, seja para a direita ou para a esquerda, haverá tanto variação de [tex3]f(x)[/tex3] quanto de [tex3]g(x)[/tex3] . No intervalo possível de [tex3]x[/tex3] , uma função aumentará de valor e a outra diminuirá. Como a taxa de variação da função que aumenta é maior que a da que diminui, o resultado da soma ficará cada vez maior.
Como provar que a taxa de variação aumenta junto com o crescimento de [tex3]y[/tex3] (quando [tex3]a>0[/tex3] )?
Se [tex3]f(x)=ax^2+bx+c[/tex3] , então [tex3]f'(x)=2ax+b[/tex3] .
Se [tex3]a[/tex3] é positivo, [tex3]f'(x)[/tex3] é uma reta com coeficiente angular positivo, logo, [tex3]f'(x)[/tex3] crescerá quando [tex3]x[/tex3] crescer (e diminuirá quando [tex3]x[/tex3] diminuir).
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