Um número real [tex3]a[/tex3]
a) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{3}{7}[/tex3]
c) [tex3]\frac{4}{7}[/tex3]
d) [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]
é escolhido de forma aleatória e uniforme no intervalo [tex3][-3,4][/tex3]
qual é a Probabilidade de todas as raízes do polinômio [tex3]x^3+ax^2+bx+1[/tex3]
sejam reais?Olimpíadas ⇒ (OBM - 2018) Probabilidade
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12
14:17
(OBM - 2018) Probabilidade
Última edição: Hanon (Ter 12 Mar, 2019 14:18). Total de 1 vez.
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Mar 2019
12
14:55
Re: (OBM - 2018) Probabilidade
Seja [tex3]f(X) = X^3 + 1 +\alpha X(X + 1)[/tex3]
Como queremos que as raízes sejam reais, é suficiente que as raízes de [tex3]X^2 +(-1 + \alpha) X + 1[/tex3] sejam reais. O discriminante vale [tex3](-1 + \alpha)^2 - 4 = \alpha^2 -2\alpha -3[/tex3] . Daí, [tex3]\alpha \geq 3[/tex3] ou [tex3]\alpha \leq -1[/tex3] . Como os intervalos possuem iguais quantidades de números, acredito que a resposta é [tex3]\frac{3}{7}[/tex3]
Foi usado que [tex3]a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 -ab + b^2)[/tex3]
, podemos fatorar [tex3]f(X)[/tex3]
em [tex3](X+1)(X^2 +(-1 + \alpha) X + 1)[/tex3]
Como queremos que as raízes sejam reais, é suficiente que as raízes de [tex3]X^2 +(-1 + \alpha) X + 1[/tex3] sejam reais. O discriminante vale [tex3](-1 + \alpha)^2 - 4 = \alpha^2 -2\alpha -3[/tex3] . Daí, [tex3]\alpha \geq 3[/tex3] ou [tex3]\alpha \leq -1[/tex3] . Como os intervalos possuem iguais quantidades de números, acredito que a resposta é [tex3]\frac{3}{7}[/tex3]
Foi usado que [tex3]a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 -ab + b^2)[/tex3]
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
Mar 2019
12
17:39
Re: (OBM - 2018) Probabilidade
Essa questão é de nível superior, envolve variáveis aleatórias.
Ainda não estudei esse assunto, mas caso ajude, neste site tem um exemplo com uma equação do segundo grau no Exemplo 6.1.2: Exemplo 6.1.2 - Distribuição uniforme
Ainda não estudei esse assunto, mas caso ajude, neste site tem um exemplo com uma equação do segundo grau no Exemplo 6.1.2: Exemplo 6.1.2 - Distribuição uniforme
Última edição: Ittalo25 (Ter 12 Mar, 2019 17:40). Total de 1 vez.
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Mar 2019
12
21:13
Re: (OBM - 2018) Probabilidade
Não entendi, minha resolução não vale? Eu tinha visto que é da OBM universitária porque tem um [tex3]b[/tex3]
Eu já tinha visto isso para duas dimensões e não vi problemas em usar para esse enunciado.
solto ali no enunciado. Pensei em trabalhar com intervalos e ver o que eles representavam do total.Eu já tinha visto isso para duas dimensões e não vi problemas em usar para esse enunciado.
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
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12
21:15
Re: (OBM - 2018) Probabilidade
ah, sim, eu também nunca estuei essa parte, por isso não ataquei dessa forma mostrada pelo Ittalo25
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
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