Olimpíadas ⇒ (OBM - 2018) Probabilidade

[Hanon]

Um número real [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

é escolhido de forma aleatória e uniforme no intervalo [tex3][-3,4][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][-3,4][/tex3]

qual é a Probabilidade de todas as raízes do polinômio [tex3]x^3+ax^2+bx+1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^3+ax^2+bx+1[/tex3]

sejam reais?
a) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

b) [tex3]\frac{3}{7}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3}{7}[/tex3]

c) [tex3]\frac{4}{7}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{4}{7}[/tex3]

d) [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

[MateusQqMD]

Seja [tex3]f(X) = X^3 + 1 +\alpha X(X + 1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(X) = X^3 + 1 +\alpha X(X + 1)[/tex3]

, podemos fatorar [tex3]f(X)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(X)[/tex3]

em [tex3](X+1)(X^2 +(-1 + \alpha) X + 1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](X+1)(X^2 +(-1 + \alpha) X + 1)[/tex3]

Como queremos que as raízes sejam reais, é suficiente que as raízes de [tex3]X^2 +(-1 + \alpha) X + 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]X^2 +(-1 + \alpha) X + 1[/tex3]

sejam reais. O discriminante vale [tex3](-1 + \alpha)^2 - 4 = \alpha^2 -2\alpha -3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](-1 + \alpha)^2 - 4 = \alpha^2 -2\alpha -3[/tex3]

. Daí, [tex3]\alpha \geq 3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha \geq 3[/tex3]

ou [tex3]\alpha \leq -1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha \leq -1[/tex3]

. Como os intervalos possuem iguais quantidades de números, acredito que a resposta é [tex3]\frac{3}{7}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3}{7}[/tex3]

Foi usado que [tex3]a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 -ab + b^2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 -ab + b^2)[/tex3]

[Ittalo25]

Essa questão é de nível superior, envolve variáveis aleatórias.

Ainda não estudei esse assunto, mas caso ajude, neste site tem um exemplo com uma equação do segundo grau no Exemplo 6.1.2: Exemplo 6.1.2 - Distribuição uniforme

[MateusQqMD]

Não entendi, minha resolução não vale? Eu tinha visto que é da OBM universitária porque tem um [tex3]b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b[/tex3]

solto ali no enunciado. Pensei em trabalhar com intervalos e ver o que eles representavam do total.

Probabilidade.png (3.83 KiB) Exibido 1404 vezes

Eu já tinha visto isso para duas dimensões e não vi problemas em usar para esse enunciado.

[MateusQqMD]

ah, sim, eu também nunca estuei essa parte, por isso não ataquei dessa forma mostrada pelo Ittalo25