Pré-Vestibular

11 Mar 2019, 09:33

A figura indica o quadrado FATO, de área igual a 16 cm2, e o triângulo FGV, com G e V pertencentes a AT e TO respectivamente.

: Sem título.jpg (7.83 KiB) Exibido 1097 vezes

a) Considerando que FGV é um triângulo equilátero, calcule a medida do seu lado.
b) Admita agora que FGV é um triângulo isósceles, com FG = FV = y cm e medida do ângulo interno igual GFV a θ radianos.
Seja f a função que, para cada valor de θ, associa o valor correspondente de y. Determine a Lei y(θ), da função f e indique
o domínio e a imagem dessa função.

Mensagem não lidapor **jvmago** » 11 Mar 2019, 10:14 · Mensagem não lida por **jvmago** » 11 Mar 2019, 10:14

Para O ITEM A teremos:
o lado do quadrado será [tex3]l=4[/tex3]
[tex3]\Delta FGA=\Delta FVO[/tex3] , como [tex3]OV=AG[/tex3] então os angulos [tex3]AgF=FvO=75º[/tex3]

Temos também que [tex3]GT=VT[/tex3] e por tio pit [tex3]2VT^2=x^2[/tex3] tal que [tex3]VT=\frac{x\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Utilizando a relação das áreas

[tex3]16=2(\frac{4*x*sen15}{2})+\frac{x^2\sqrt{3}}{4}+\frac{x^2*2}{4*2}[/tex3]
[tex3]16=4*x*(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4})+\frac{x^2(\sqrt{3}+1)}{4}[/tex3]

Resolva isso e vai sair com o lado do triangulo

Mensagem não lidapor **jvmago** » 11 Mar 2019, 10:22 · Mensagem não lida por **jvmago** » 11 Mar 2019, 10:22

Para o item B voce terá

[tex3]GV^2=2y^2-2ycos(a)[/tex3] guardemos isso!

Aplicando pit em um dos triangulos menores:

[tex3]y^2=16+l^2[/tex3]
[tex3]l=\sqrt{y^2-16}[/tex3]

Aplicando pit no triangulo maior:

[tex3]GV^2=2(4-l^2)^2[/tex3]
[tex3]GV^2=2(20-y^2)^2[/tex3]
[tex3]2y^2-2ycos(a)=2(20-y^2)^2[/tex3] agora ficou fácil, porém bem feio
[tex3]y^2-ycos(a)=(20-y^2)^2[/tex3]

Basta resolver a biquadrada em função de [tex3]\theta[/tex3] e resolvido

Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 11 Mar 2019, 10:55 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 11 Mar 2019, 10:55

Contribuirei com soluções alternativas.

Se a área do quadrado é de [tex3]16cm^2[/tex3] , então seu lado [tex3]l[/tex3] mede 4 cm.

a)

Se [tex3]\angle GFV=60^\circ[/tex3] , então [tex3]\angle AFG=\angle OFV=\frac{90^\circ-60^\circ}{2}=30^\circ[/tex3] .

Daí,

[tex3]\cos30^\circ=\frac{FO}{FV}[/tex3]

Logo,

[tex3]\frac{4}{FV}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

[tex3]FV=\frac{8\sqrt{3}}{3}[/tex3]

b)

Se [tex3]\angle GFV=\theta[/tex3] , então [tex3]\angle AFG=\angle OFV=\frac{90^\circ-\theta}{2}[/tex3] .

[tex3]\cos\frac{90^\circ-\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos(90^\circ-\theta)}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1+\sin\theta}{2}}[/tex3]

Como [tex3]\frac{90^\circ-\theta}{2}[/tex3] está no primeiro quadrante, ficamos com a raiz positiva.

Daí,

[tex3]\sqrt{\frac{1+\sin\theta}{2}}=\frac{FO}{FV}[/tex3]

Logo,

[tex3]FV=4\sqrt{\frac{2}{1+\sin\theta}}[/tex3]

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