IME / ITA ⇒ (ITA) Função Quadrática Tópico resolvido

[Vscarv]

Dada a função quadrática

[tex3]f(x)= x^2\cdot \ln\(\frac23\)+x\cdot \ln(6)-1/4\cdot \ln\(\frac32\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)= x^2\cdot \ln\(\frac23\)+x\cdot \ln(6)-1/4\cdot \ln\(\frac32\)[/tex3]

, temos que:

a) a equação [tex3]f(x)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=0[/tex3]

não possui raízes reais

b) a equação [tex3]f(x)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=0[/tex3]

possui raízes reais distintas e o gráfico de [tex3]f[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f[/tex3]

possui concavidade para cima

c) a equação [tex3]f(x)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=0[/tex3]

possui raízes reais iguais e o gráfico de [tex3]f[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f[/tex3]

possui concavidade para baixo

d) o valor máximo de [tex3]f[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f[/tex3]

é [tex3]\frac{\ln 2\cdot \ln 3}{\ln 3- \ln 2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\ln 2\cdot \ln 3}{\ln 3- \ln 2}[/tex3]

e) o valor máximo de [tex3]f[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f[/tex3]

é [tex3]2\cdot \frac{\ln 2\cdot \ln 3}{\ln 3- \ln 2}[/tex3]

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[tex3]2\cdot \frac{\ln 2\cdot \ln 3}{\ln 3- \ln 2}[/tex3]

Resposta

---

D

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Se f é definida por [tex3]f(x)=x^{2}ln\left(\frac{2}{3}\right)+xln(6)-\frac{1}{4}.ln\left(\frac{3}{2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=x^{2}ln\left(\frac{2}{3}\right)+xln(6)-\frac{1}{4}.ln\left(\frac{3}{2}\right)[/tex3]

, então;

( I ) [tex3]ln\left(\frac{2}{3}\right)[/tex3]

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[tex3]ln\left(\frac{2}{3}\right)[/tex3]

= ln (2) - ln (3) < 0 e portanto f possui concavidade voltada para baixo e possui valor máximo.


( I I ) [tex3]∆=(ln6)^2-\cancel{4}.ln\left(\frac{2}{3}\right).\left(-\frac{1}{\cancel{4}}\right).ln\left(\frac{3}{2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]∆=(ln6)^2-\cancel{4}.ln\left(\frac{2}{3}\right).\left(-\frac{1}{\cancel{4}}\right).ln\left(\frac{3}{2}\right)[/tex3]

∆ = (ln6)^2 + [ln(2) - ln(3)].[ln(3) - ln(2)]

∆ = (ln6)^2 - [ln(3) - ln(2)]^2

∆ = [ ln(6) + ln(3) - ln(2) ].[ ln(6) - ln(3) + ln(2) ]

∆ = ln(9).ln(4)

∆ = 4.ln(3).ln(2) → ∆ > 0 e portanto a equação f(x) = 0 possui duas raízes reais e distintas.


( I I I ) O valor máximo de f é dado por - ∆/4a. Logo:

[tex3]f_{máx}=\frac{-4ln(3).ln(2)}{4ln\left(\frac{2}{3}\right)}=\frac{-4ln(3).ln(2)}{4[ln(2)-ln(3)]}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f_{máx}=\frac{-4ln(3).ln(2)}{4ln\left(\frac{2}{3}\right)}=\frac{-4ln(3).ln(2)}{4[ln(2)-ln(3)]}[/tex3]

[tex3]f_{máx}=\frac{-\cancel{4}.ln(2).ln(3)}{-\cancel{4}.[ln(3)-ln(2)]}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f_{máx}=\frac{-\cancel{4}.ln(2).ln(3)}{-\cancel{4}.[ln(3)-ln(2)]}[/tex3]

[tex3]f_{máx}=\frac{ln(2).ln(3)}{ln(3)-ln(2)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f_{máx}=\frac{ln(2).ln(3)}{ln(3)-ln(2)}[/tex3]

Portanto, o valor máximo de f é :[tex3]\frac{ln(2).ln(3)}{ln(3)-ln(2)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{ln(2).ln(3)}{ln(3)-ln(2)}[/tex3]

, alternativa d).



Bons estudos!