Pré-Vestibular ⇒ (UPE) Trigonometria + área do polígono Tópico resolvido

[Jhonatan]

Os pontos do círculo trigonométrico, que são soluções da equação 2 cosx - secx = 1, são vértices de um polígono. A área desse polígono é igual a:

a) 3 unidade de área
b) 2 unidade de área
c) 3√3/4 unidade de área
d) √2/4 unidade de área
e) 1/2 unidade de área

R: c)

Pessoal, substituí sec x por 1/cos x.
Assim sendo, chegaremos numa eq do 2º grau: 2 cos²x - cosx - 1 = 0
sendo cosx = y

2y² - y - 1 = 0

resolvendo, chegamos em y = 1 ou y = -1/2

Porém, a partir daí não sei resolver. Alguém poderia ajudar, por favor ? Obrigado.

[csmarcelo]

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Os pontos A, B e C da imagem são os do enunciado.

A é o ponto onde [tex3]y=\cos x=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=\cos x=1[/tex3]

e B e C são os pontos onde [tex3]y=\cos x=-\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]y=\cos x=-\frac{1}{2}[/tex3]

.

[tex3]\angle BOC=120^\circ[/tex3]

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[tex3]\angle BOC=120^\circ[/tex3]

Pela lei dos cossenos

[tex3]BC^2=BO^2+CO^2-2\cdot BO\cdot CO\cdot\cos120^\circ[/tex3]

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[tex3]BC^2=BO^2+CO^2-2\cdot BO\cdot CO\cdot\cos120^\circ[/tex3]

[tex3]BC^2=1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot\cos120^\circ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BC^2=1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot\cos120^\circ[/tex3]

[tex3]BC=\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]BC=\sqrt{3}[/tex3]

O triângulo [tex3]ABC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ABC[/tex3]

claramente é equilátero. Logo, sua altura é igual a [tex3]\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}[/tex3]

.

Daí, a área do triângulo [tex3]ABC[/tex3]

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[tex3]ABC[/tex3]

é igual a [tex3]\frac{\sqrt{3}\cdot\frac{3}{2}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{3}\cdot\frac{3}{2}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}[/tex3]

[Jhonatan]

Excelente, amigo csmarcelo. Realmente, não conseguiria fazer a questão! Achar os 4 ângs (0º, 360º, 120º e 240º) não seriam o problema, mas sim imaginar o triângulo sendo equilátero e, ainda por cima, ter de aplicar a lei dos cossenos.
Mas compreendi tudo certinho. Muito obrigado!!!