Ensino Médio ⇒ Equação Tópico resolvido

[dylanchan0910]

Resolva em R a equação
(x^2–9x–1)^10+99x^10=10x^9(x^2-1)

[guila100]

[tex3](x^2-9x-1)^{10}+99x^{10}= 10x^{9(x^2-1)}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x^2-9x-1)^{10}+99x^{10}= 10x^{9(x^2-1)}
[/tex3]

é isso ou é

[tex3](x^2-9x-1)^{10}+99x^{10}= 10x^{9}(x^2-1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x^2-9x-1)^{10}+99x^{10}= 10x^{9}(x^2-1)[/tex3]

[dylanchan0910]

A segunda opção (€£¥€¥¥€¥¥££)

[MateusQqMD]

De [tex3](x^2-9x-1)^{10}+99x^{10}= 10x^{9}(x^2-1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x^2-9x-1)^{10}+99x^{10}= 10x^{9}(x^2-1)[/tex3]

, temos

[tex3](x^2-9x-1)^{10}= 10x^{9}(x^2 - 9x -1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x^2-9x-1)^{10}= 10x^{9}(x^2 - 9x -1)[/tex3]

[tex3](x^2 - 9x -1)\[ (x^2 - 9x -1)^9 - 10x^9\] = 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x^2 - 9x -1)\[ (x^2 - 9x -1)^9 - 10x^9\] = 0 [/tex3]

A possibilidade [tex3]x^2 - 9x -1 = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2 - 9x -1 = 0[/tex3]

gera [tex3]x = \frac{9 \pm \sqrt{85}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x = \frac{9 \pm \sqrt{85}}{2}[/tex3]

. Já [tex3](x^2 - 9x -1)^9 - 10x^9 = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x^2 - 9x -1)^9 - 10x^9 = 0[/tex3]

equivale a [tex3]x^2 - 9x -1 = x\cdot \sqrt[9]10 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2 - 9x -1 = x\cdot \sqrt[9]10 [/tex3]

, que gera umas raízes bem feias quando você abre o Bhaskara.

[dylanchan0910]

Valeu por responder. Mas não tem um erro na primeira linha?. Vc não comeu um 9x^(10)??

[jomatlove]

Olá!
Tem o gabarito??

[MateusQqMD]

Valeu por responder. Mas não tem um erro na primeira linha?. Vc não comeu um 9x^(10)??

Sim, agora que olhei melhor percebi que comi um 9x^(10), mais tarde eu tento arrumar

[MateusQqMD]

Olá!
Tem o gabarito??

Eu coloquei a equação do wolfram

https://www.wolframalpha.com/input/?i=( ... +(x%5E2-1)

e ele sugeriu [tex3]x = 5 \pm \sqrt{26}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x = 5 \pm \sqrt{26}[/tex3]

como solução real

[jomatlove]

Olá!
Tem o gabarito??

Eu coloquei a equação do wolfram

https://www.wolframalpha.com/input/?i=( ... +(x%5E2-1)

e ele sugeriu [tex3]x = 5 \pm \sqrt{26}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x = 5 \pm \sqrt{26}[/tex3]

como solução real

Foi o que eu achei!
Valeu!

[MateusQqMD]

A ideia acaba ficando a mesma,

[tex3](x^2-9x-1)^{10}= 10x^{9}(x^2 - 9x -1) - 9x^{10}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x^2-9x-1)^{10}= 10x^{9}(x^2 - 9x -1) - 9x^{10}[/tex3]

[tex3](x^2-9x-1)^{10}= x^{9}\[10(x^2 - 9x -1) - 9x\][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x^2-9x-1)^{10}= x^{9}\[10(x^2 - 9x -1) - 9x\][/tex3]

Faça [tex3]k = x^2-9x-1 \neq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k = x^2-9x-1 \neq 0[/tex3]

Daí,

[tex3]k^{10} = x^{9}(10k - 9x) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k^{10} = x^{9}(10k - 9x) [/tex3]

[tex3]k^{10} - x^{9}10k + 9x^{10} = 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k^{10} - x^{9}10k + 9x^{10} = 0 [/tex3]

Dividindo tudo por [tex3]x^{10}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{10}[/tex3]

, temos

[tex3]\( \frac{k}{x} \)^{10} - 10 \( \frac{k}{x} \)^9 + 9 = 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\( \frac{k}{x} \)^{10} - 10 \( \frac{k}{x} \)^9 + 9 = 0 [/tex3]

De onde é fácil ver que [tex3]\( \frac{k}{x} \) = 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\( \frac{k}{x} \) = 1[/tex3]

é solução da equação

A ideia, agora, é aplicar Briot-Ruffini para baixar o grau desse polinômio e fazer a verificação de outras raízes. Antes eu tava meio sem tempo e acabei não notando que eu tinha esquecido uma parcela da soma, foi mal. Vou ter que sair agora, deixo o restante do problema como dever de casa para você