IME / ITA ⇒ (IME 97/98) Equação trigonométrica Tópico resolvido

[Hanon]

Determine a solução da equação trigonométrica [tex3]\sen (x)+\sqrt{3}\cdot cos (x)=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen (x)+\sqrt{3}\cdot cos (x)=1[/tex3]

, [tex3]x\in \mathbb{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\in \mathbb{R}[/tex3]

.

[guila100]

[tex3]sen(x)+\sqrt{3}cos(x)=1\\(sen(x)+\sqrt{3}cos(x))^2=1^2\\(sen^2(x)+\sqrt{3}.2.sen(x).cos(x)+3cos^2x)=1\\sen^2(x)+cos^2x+2cos^2x+\sqrt{3}.2sen(x).cos(x)=1\\1+2cos^2x+\sqrt{3}.2.sen(x).cos(x)=1\\2cos^2(x)=-\sqrt{3}.2.sen(x).cos(x)\\cos(x)=-\sqrt{3}sen(x)\\tg(x)=-1/\sqrt{3}\\tg(x)=-\sqrt{3}/3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]sen(x)+\sqrt{3}cos(x)=1\\(sen(x)+\sqrt{3}cos(x))^2=1^2\\(sen^2(x)+\sqrt{3}.2.sen(x).cos(x)+3cos^2x)=1\\sen^2(x)+cos^2x+2cos^2x+\sqrt{3}.2sen(x).cos(x)=1\\1+2cos^2x+\sqrt{3}.2.sen(x).cos(x)=1\\2cos^2(x)=-\sqrt{3}.2.sen(x).cos(x)\\cos(x)=-\sqrt{3}sen(x)\\tg(x)=-1/\sqrt{3}\\tg(x)=-\sqrt{3}/3[/tex3]

usando a formula da tangente temos que

[tex3]tg(x)=-\sqrt{3}/3 \\ tg(x)= tg(150)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]tg(x)=-\sqrt{3}/3 \\ tg(x)= tg(150)[/tex3]

então temos

[tex3]\begin{cases}
x=5\pi/6 + 2k\pi \\
x=11\pi/6 + 2k\pi
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
x=5\pi/6 + 2k\pi \\
x=11\pi/6 + 2k\pi
\end{cases}[/tex3]

ou conjunto solução para todo x pertencente aos reais = ([tex3]x=5\pi /6+k\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=5\pi /6+k\pi [/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

sen(x) + (√3).cos(x) = 1

Divida toda a equação ( os membros ) por dois (2), fica;

[tex3]\frac{1}{2}.sen (x)+\frac{\sqrt{3}}{2}.cos (x)=\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}.sen (x)+\frac{\sqrt{3}}{2}.cos (x)=\frac{1}{2}[/tex3]

Obs1. 1/2 = cos (π/3).

Obs2. [tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

= sen (π/3).


[tex3]cos\frac{π}{3}.sen (x)+sen\frac{π}{3}.cos (x)=\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cos\frac{π}{3}.sen (x)+sen\frac{π}{3}.cos (x)=\frac{1}{2}[/tex3]

Ou


[tex3]sen (x).cos\frac{π}{3}+sen\frac{π}{3}.cos (x)=\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]sen (x).cos\frac{π}{3}+sen\frac{π}{3}.cos (x)=\frac{1}{2}[/tex3]

Obs3. sen (x + y) = sen (x).cos(y) + sen (y).cos(x)

Daí;

[tex3]sen\left(x+\frac{π}{3}\right)=\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]sen\left(x+\frac{π}{3}\right)=\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]Como, \frac{1}{2}=sen\left(\frac{π}{6}+2kπ\right)=sen\left(\frac{5π}{6}+2kπ\right), \ temos \ que:[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Como, \frac{1}{2}=sen\left(\frac{π}{6}+2kπ\right)=sen\left(\frac{5π}{6}+2kπ\right), \ temos \ que:[/tex3]

[tex3]x+\frac{π}{3}=\frac{π}{6}+2kπ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x+\frac{π}{3}=\frac{π}{6}+2kπ[/tex3]

[tex3]x=\frac{π}{6}-\frac{π}{3}+2kπ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=\frac{π}{6}-\frac{π}{3}+2kπ[/tex3]

[tex3]x=-\frac{π}{6}+2kπ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=-\frac{π}{6}+2kπ[/tex3]

Ou


[tex3]x+\frac{π}{3}=\frac{5π}{6}+2kπ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x+\frac{π}{3}=\frac{5π}{6}+2kπ[/tex3]

[tex3]x=\frac{5π}{6}-\frac{π}{3}+2kπ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=\frac{5π}{6}-\frac{π}{3}+2kπ[/tex3]

[tex3]x=\frac{π}{2}+2kπ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=\frac{π}{2}+2kπ[/tex3]

Portanto, o conjunto solução é :

S={[tex3]x\in \mathbb{R}| \ x=-\frac{π}{6}+2kπ \ ou \ x=\frac{π}{2}+2kπ, k\in Z[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\in \mathbb{R}| \ x=-\frac{π}{6}+2kπ \ ou \ x=\frac{π}{2}+2kπ, k\in Z[/tex3]

}


Bons estudos!

[guila100]

Observe

Uma solução:

sen(x) + (√3).cos(x) = 1

Divida toda a equação ( os membros ) por dois (2), fica;

[tex3]\frac{1}{2}.sen (x)+\frac{\sqrt{3}}{2}.cos (x)=\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}.sen (x)+\frac{\sqrt{3}}{2}.cos (x)=\frac{1}{2}[/tex3]

Obs1. 1/2 = cos (π/3).

Obs2. [tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

= sen (π/3).


[tex3]cos\frac{π}{3}.sen (x)+sen\frac{π}{3}.cos (x)=\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cos\frac{π}{3}.sen (x)+sen\frac{π}{3}.cos (x)=\frac{1}{2}[/tex3]

Ou


[tex3]sen (x).cos\frac{π}{3}+sen\frac{π}{3}.cos (x)=\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]sen (x).cos\frac{π}{3}+sen\frac{π}{3}.cos (x)=\frac{1}{2}[/tex3]

Obs3. sen (x + y) = sen (x).cos(y) + sen (y).cos(x)

Daí;

[tex3]sen\left(x+\frac{π}{3}\right)=\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]sen\left(x+\frac{π}{3}\right)=\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]Como, \frac{1}{2}=sen\left(\frac{π}{6}+2kπ\right)=sen\left(\frac{5π}{6}+2kπ\right), \ temos \ que:[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Como, \frac{1}{2}=sen\left(\frac{π}{6}+2kπ\right)=sen\left(\frac{5π}{6}+2kπ\right), \ temos \ que:[/tex3]

[tex3]x+\frac{π}{3}=\frac{π}{6}+2kπ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x+\frac{π}{3}=\frac{π}{6}+2kπ[/tex3]

[tex3]x=\frac{π}{6}-\frac{π}{3}+2kπ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=\frac{π}{6}-\frac{π}{3}+2kπ[/tex3]

[tex3]x=-\frac{π}{6}+2kπ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=-\frac{π}{6}+2kπ[/tex3]

Ou


[tex3]x+\frac{π}{3}=\frac{5π}{6}+2kπ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x+\frac{π}{3}=\frac{5π}{6}+2kπ[/tex3]

[tex3]x=\frac{5π}{6}-\frac{π}{3}+2kπ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=\frac{5π}{6}-\frac{π}{3}+2kπ[/tex3]

[tex3]x=\frac{π}{2}+2kπ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=\frac{π}{2}+2kπ[/tex3]

Portanto, o conjunto solução é :

S={[tex3]x\in \mathbb{R}| \ x=-\frac{π}{6}+2kπ \ ou \ x=\frac{π}{2}+2kπ, k\in Z[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\in \mathbb{R}| \ x=-\frac{π}{6}+2kπ \ ou \ x=\frac{π}{2}+2kπ, k\in Z[/tex3]

}


Bons estudos!

da uma olhada na minha resolução acima e ve o que eu errei fazendo favor fiquei um tempo nessa questão queria saber oq eu errei vlw

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

sen(x) + (√3).cos(x) = 1

Divida toda a equação ( os membros ) por dois (2), fica;

[tex3]\frac{1}{2}.sen (x)+\frac{\sqrt{3}}{2}.cos (x)=\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}.sen (x)+\frac{\sqrt{3}}{2}.cos (x)=\frac{1}{2}[/tex3]

Obs1. 1/2 = cos (π/3).

Obs2. [tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

= sen (π/3).


[tex3]cos\frac{π}{3}.sen (x)+sen\frac{π}{3}.cos (x)=\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cos\frac{π}{3}.sen (x)+sen\frac{π}{3}.cos (x)=\frac{1}{2}[/tex3]

Ou


[tex3]sen (x).cos\frac{π}{3}+sen\frac{π}{3}.cos (x)=\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]sen (x).cos\frac{π}{3}+sen\frac{π}{3}.cos (x)=\frac{1}{2}[/tex3]

Obs3. sen (x + y) = sen (x).cos(y) + sen (y).cos(x)

Daí;

[tex3]sen\left(x+\frac{π}{3}\right)=\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]sen\left(x+\frac{π}{3}\right)=\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]Como, \frac{1}{2}=sen\left(\frac{π}{6}+2kπ\right)=sen\left(\frac{5π}{6}+2kπ\right), \ temos \ que:[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Como, \frac{1}{2}=sen\left(\frac{π}{6}+2kπ\right)=sen\left(\frac{5π}{6}+2kπ\right), \ temos \ que:[/tex3]

[tex3]x+\frac{π}{3}=\frac{π}{6}+2kπ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x+\frac{π}{3}=\frac{π}{6}+2kπ[/tex3]

[tex3]x=\frac{π}{6}-\frac{π}{3}+2kπ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=\frac{π}{6}-\frac{π}{3}+2kπ[/tex3]

[tex3]x=-\frac{π}{6}+2kπ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=-\frac{π}{6}+2kπ[/tex3]

Ou


[tex3]x+\frac{π}{3}=\frac{5π}{6}+2kπ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x+\frac{π}{3}=\frac{5π}{6}+2kπ[/tex3]

[tex3]x=\frac{5π}{6}-\frac{π}{3}+2kπ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=\frac{5π}{6}-\frac{π}{3}+2kπ[/tex3]

[tex3]x=\frac{π}{2}+2kπ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=\frac{π}{2}+2kπ[/tex3]

Portanto, o conjunto solução é :

S={[tex3]x\in \mathbb{R}| \ x=-\frac{π}{6}+2kπ \ ou \ x=\frac{π}{2}+2kπ, k\in Z[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\in \mathbb{R}| \ x=-\frac{π}{6}+2kπ \ ou \ x=\frac{π}{2}+2kπ, k\in Z[/tex3]

}


Bons estudos!

da uma olhada na minha resolução acima e ve o que eu errei fazendo favor fiquei um tempo nessa questão queria saber oq eu errei vlw

Exatamente nessa parte aqui( linha 6 ):

[tex3]2cos^2(x)=-\sqrt{3}.2.sen(x).cos(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2cos^2(x)=-\sqrt{3}.2.sen(x).cos(x)[/tex3]

Ao fazer o cancelamento de cos (x) com cos (x) você automaticamente elimina "algumas raízes" da equação.

Abraços!

[Cardoso1979]

Outro detalhe, elevar ao quadrado também não é uma boa opção para se resolver equações trigonométricas, pois , ao final vc terá que conferir ( verificar ) solução por solução aquela que satisfaz a equação trigonométrica.

[guila100]

Outro detalhe, elevar ao quadrado também não é uma boa opção para se resolver equações trigonométricas, pois , ao final vc terá que conferir ( verificar ) solução por solução aquela que satisfaz a equação trigonométrica.

hm vlw

[Cardoso1979]

Outro detalhe, elevar ao quadrado também não é uma boa opção para se resolver equações trigonométricas, pois , ao final vc terá que conferir ( verificar ) solução por solução aquela que satisfaz a equação trigonométrica.

hm vlw