[tex3]\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+...[/tex3]
Observação
Consegui chegar na resposta, mas não sei se está correto o modo que fiz.
Primeiro, desenvolvi algumas frações para tentar encontrar um padrão
[tex3]\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...[/tex3]
Encontrei o seguinte padrão
[tex3]\frac{1}{2}.\frac{1}{1}+\frac{1}{2}.\frac{1}{3}+\frac{1}{2}.\frac{1}{6}+\frac{1}{2}.\frac{1}{10}+...[/tex3]
Portanto, podemos colocar [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] em evidência, logo
[tex3]\frac{1}{2}.\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+...\frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}}\right)[/tex3]
Nesse ponto, nota-se que o "enésimo" termo é [tex3]\frac{2}{n(n+1)}[/tex3] ou [tex3]2.\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)[/tex3]
Assim, para cada termo [tex3]\frac{1}{n}[/tex3] teremos seu oposto [tex3]-\frac{1}{n}[/tex3] , pois
[tex3]n=1[/tex3]
[tex3]2.\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}\right)[/tex3]
[tex3]n=2[/tex3]
[tex3]2.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}\right)[/tex3]
[tex3]n=3[/tex3]
[tex3]2.\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3+1}\right)[/tex3]
Logo, somente [tex3]\frac{1}{1}[/tex3] não será cancelado com seu oposto e, assim
[tex3]\frac{1}{2}.\left[2.\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\right][/tex3]
Se o limite de "n" tende ao infinito, temos
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)[/tex3]
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}1-\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n+1}[/tex3]
[tex3]1-0=1[/tex3]
Portanto,
[tex3]\frac{1}{2}.[2.(1)]=1[/tex3]
Resposta
1