Seja f a função definida por [tex3]f(x)=2x-\sqrt{x^2+3}[/tex3]
, [tex3]x\in \mathbb{R}[/tex3]
a) verifique que [tex3]f'[/tex3]
é contínua em [tex3][tex3]\mathbb{R}[/tex3]
[/tex3]
b) verifique que [tex3]f'(x)\neq 0 [/tex3]
para todo [tex3]x\in \mathbb{R}[/tex3]
c) Tendo em vista que [tex3]f'(0)>0[/tex3]
, conclua que [tex3]f[/tex3]
é estritamente crescente
Ensino Superior ⇒ Derivada contínua e crescente Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2019
18
11:57
Re: Derivada contínua e crescente
Oi bom dia
a)para que [tex3]f[/tex3] seja contínua devemos ter [tex3]\lim_{x \to a}f(x)=f(a)[/tex3] e que [tex3]\lim_{x \to a^+}f(x)=\lim_{x \to a^-}f(x)[/tex3] , vejamos primeiramente [tex3]\lim_{x \to a^+}f(x)=\lim_{x \to a^+}(2x-\sqrt{x^2+3})=2a-\sqrt{a^2+3}[/tex3] e que [tex3]\lim_{x \to a^-}f(x)=\lim_{x \to a^-}(2x-\sqrt{x^2+3})=2a-\sqrt{a^2+3}[/tex3] , ou seja, [tex3]\lim_{x \to a^+}f(x)=\lim_{x \to a^-}f(x)[/tex3] , portanto [tex3]f[/tex3] é contínua.
b) Como [tex3]f(x)=2x-\sqrt{x^2+3}\rightarrow f'(x)=2-\frac{1}{2\sqrt{x^2+3}}[/tex3] , observe que [tex3]f'(x)\neq 0[/tex3] e que [tex3]f'(x)>0[/tex3] qualquer que seja [tex3]x[/tex3] , c) logo [tex3]f[/tex3] é crescente.
a fração dada por [tex3]\frac{1}{2\sqrt{x^2+3}}[/tex3] se torna cada vez menor quando tomamos [tex3]x\rightarrow +\infty [/tex3] ou quando [tex3]x\rightarrow -\infty [/tex3] .
Um abraço,
a)para que [tex3]f[/tex3] seja contínua devemos ter [tex3]\lim_{x \to a}f(x)=f(a)[/tex3] e que [tex3]\lim_{x \to a^+}f(x)=\lim_{x \to a^-}f(x)[/tex3] , vejamos primeiramente [tex3]\lim_{x \to a^+}f(x)=\lim_{x \to a^+}(2x-\sqrt{x^2+3})=2a-\sqrt{a^2+3}[/tex3] e que [tex3]\lim_{x \to a^-}f(x)=\lim_{x \to a^-}(2x-\sqrt{x^2+3})=2a-\sqrt{a^2+3}[/tex3] , ou seja, [tex3]\lim_{x \to a^+}f(x)=\lim_{x \to a^-}f(x)[/tex3] , portanto [tex3]f[/tex3] é contínua.
b) Como [tex3]f(x)=2x-\sqrt{x^2+3}\rightarrow f'(x)=2-\frac{1}{2\sqrt{x^2+3}}[/tex3] , observe que [tex3]f'(x)\neq 0[/tex3] e que [tex3]f'(x)>0[/tex3] qualquer que seja [tex3]x[/tex3] , c) logo [tex3]f[/tex3] é crescente.
a fração dada por [tex3]\frac{1}{2\sqrt{x^2+3}}[/tex3] se torna cada vez menor quando tomamos [tex3]x\rightarrow +\infty [/tex3] ou quando [tex3]x\rightarrow -\infty [/tex3] .
Um abraço,
Última edição: drfritz (Seg 18 Fev, 2019 11:57). Total de 1 vez.
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