Ensino Superior ⇒ Limites Tópico resolvido

[TioRafa]

d)[tex3]\lim_{x \rightarrow p}\left(\frac{secx - secp}{x-p}\right)[/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow p}\left(\frac{secx - secp}{x-p}\right)[/tex3]

Resposta

---

d) secp tgp

[Cardoso1979]

Observe

[tex3]\lim_{x \rightarrow p}\left(\frac{secx - secp}{x-p}\right)=[/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow p}\left(\frac{secx - secp}{x-p}\right)=[/tex3]

Solução:

Note que;

sec (x) - sec (p) = [tex3]\frac{1}{cos (x)}-\frac{1}{cos (p)}=\frac{cos(p)-cos (x)}{cos (x).cos(p)}=-\frac{cos(x)-cos (p)}{cos (x).cos(p)}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{cos (x)}-\frac{1}{cos (p)}=\frac{cos(p)-cos (x)}{cos (x).cos(p)}=-\frac{cos(x)-cos (p)}{cos (x).cos(p)}[/tex3]

Mas, já sabemos que cos (x) - cos (p) = [tex3]-2.sen\frac{x+p}{2}.sen\frac{x-p}{2}[/tex3]

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[tex3]-2.sen\frac{x+p}{2}.sen\frac{x-p}{2}[/tex3]

. Assim;

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ p}2\frac{sen\frac{x+p}{2}.sen\frac{x-p}{2}}
{cos (x).cos (p).(x-p)}=[/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow \ p}2\frac{sen\frac{x+p}{2}.sen\frac{x-p}{2}}
{cos (x).cos (p).(x-p)}=[/tex3]

Dividindo numerador e denominador por dois ( 2 ) , resulta;

[tex3]\left(\lim_{x \rightarrow \ p}\frac{sen\left(\frac{x+p}{2}\right)}{cos(x).cos (p)}\right).\left(\lim_{x \rightarrow \ p}\frac{sen\left(\frac{x-p}{2}\right)}{\frac{x-p}{2}}\right)=[/tex3]

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[tex3]\left(\lim_{x \rightarrow \ p}\frac{sen\left(\frac{x+p}{2}\right)}{cos(x).cos (p)}\right).\left(\lim_{x \rightarrow \ p}\frac{sen\left(\frac{x-p}{2}\right)}{\frac{x-p}{2}}\right)=[/tex3]

Pelo limite fundamental trigonométrico, resulta que;

[tex3]\frac{sen\left(\frac{p+p}{2}\right)}{cos (p).cos(p)}.1=\frac{sen\ (p)}{cos \ (p)}.\frac{1}{cos \ (p)}[/tex3]

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[tex3]\frac{sen\left(\frac{p+p}{2}\right)}{cos (p).cos(p)}.1=\frac{sen\ (p)}{cos \ (p)}.\frac{1}{cos \ (p)}[/tex3]

= tg (p).sec (p).


Portanto, [tex3]\lim_{x \rightarrow p}\left(\frac{secx - secp}{x-p}\right)=sec (p).tg(p)[/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow p}\left(\frac{secx - secp}{x-p}\right)=sec (p).tg(p)[/tex3]

Nota

Usando a regra de L'HOPITAL ( pois há uma indeterminação do tipo 0/0 ) , temos que , derivando numerador e denominador, resulta;

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ p}sec(x).tg (x)[/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow \ p}sec(x).tg (x)[/tex3]

= sec (p).tg (p)



Bons estudos!