Ensino Superior

Mensagem não lidapor **TioRafa** » Ter 12 Fev, 2019 22:05

Seja [tex3]f(x) = x+\left(\frac{1}{x}\right)[/tex3] . Prove:

A) [tex3]|f(x)-f(1)| \le \(1+\frac{1}{x}\)|x-1|[/tex3] para [tex3]x>0[/tex3]

B) [tex3]|f(x)-f(1)| ≤ 3|x-1|[/tex3] para [tex3]x>1/2[/tex3]

C) [tex3]f[/tex3] é contínua em [tex3]p=1[/tex3]

Observe

Uma prova:

A) Temos que

[tex3]|f(x)-f(1)|=\left|x+\frac{1}{x}-\left(1+\frac{1}{1}\right)\right|=\left| x +\frac{1}{x}-2\right|[/tex3]

[tex3]|f(x)-f(1)|=\left|\frac{x^2-2x+1}{x}\right|=\left|\frac{(x-1)^2}{x}\right|=\left|\frac{x-1}{x}\right||x-1|=\left|1-\frac{1}{x}\right||x-1|[/tex3]

Quando x > 0 , temos que [tex3]1-\frac{1}{x} > 0 [/tex3] então [tex3]\left|1-\frac{1}{x}\right|≤ \left(1+\frac{1}{x}\right)[/tex3]

E assim,

[tex3]\left|1-\frac{1}{x}\right|.|x-1|≤ \left(1+\frac{1}{x}\right).|x-1|[/tex3]

E como

[tex3]|f(x)-f(1)|=\left|1-\frac{1}{x}\right|.|x-1|[/tex3]

[tex3]\left|1-\frac{1}{x}\right|.|x-1|=|f(x)-f(1)|≤\left(1+\frac{1}{x}\right)|x-1|[/tex3]

Provamos então que [tex3]|f(x)-f(1)|≤\left(1+\frac{1}{x}\right)|x-1|[/tex3] .

B) Como provamos que [tex3]|f(x)-f(1)|≤\left(1+\frac{1}{x}\right)|x-1|[/tex3] e temos agora que [tex3]x > \frac{1}{2}[/tex3] , então:

[tex3]x > \frac{1}{2}⇒ \frac{1}{x}<2⇒1+\frac{1}{x} < 1+2⇒\left(1+\frac{1}{x}\right) < 3⇒\left(1+\frac{1}{x}\right)|x-1|<3|x-1|[/tex3]

Se [tex3]|f(x)-f(1)|≤\left(1+\frac{1}{x}\right)|x-1|[/tex3] , daí;

[tex3]|f(x)-f(1)|≤\left(1+\frac{1}{x}\right)|x-1|<3|x-1| [/tex3] .

Logo, provamos que: [tex3]|f(x)-f(1)|≤3|x-1| [/tex3] .

C) Para f ser contínua em p = 1 , temos que para um valor ε > 0 e tomando δ como sendo o menor valor entre [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] e [tex3]\frac{\varepsilon }{3}[/tex3] , podemos afirmar que | x - 1 | < δ ⇒ | f( x ) - f( 1 ) | < ε , e , portanto , f é contínua em p = 1. C.q.p.

Bons estudos!

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