Ensino Superior

MiguelSan · Mensagem não lida por **MiguelSan** » 02 Fev 2019, 23:26

Dado que [tex3]\lim_{x \rightarrow a}[/tex3] f(x)= L.Determine um número [tex3]\delta [/tex3] para o [tex3]\varepsilon [/tex3] dado tal que |f(x) - L|<[tex3]\varepsilon [/tex3] sempre que 0<|x-a|<[tex3]\delta [/tex3] .

[tex3]\lim_{x \rightarrow 5}\frac{1}{2-X}[/tex3] =-[tex3]\frac{1}{3}[/tex3] , [tex3]\varepsilon [/tex3] =0,25

Resposta

[/Possível resultado [tex3]\delta [/tex3] =1]

Mensagem não lidapor **Cardoso1979** » 11 Fev 2019, 15:44

Observe

Uma solução:

Dado ε = 0,25 , existe δ > 0 tal que

[tex3]|\frac{1}{2-x}+\frac{1}{3}|[/tex3] < ε sempre que 0 < | x - 5 | < δ

Temos que;

[tex3]|\frac{3+(2-x)}{3(2-x)}|=|\frac{3+2-x}{3(2-x)}|=|\frac{5-x}{3(2-x)}|=|\frac{x-5}{3(x-2)}|[/tex3] , com x ≠ 2.

Supondo 0 < δ ≤ 1 , da desigualdade 0 < | x - 5 | < δ , segue que;

| x - 5 | < 1 →

- 1 < x - 5 < 1 → adicione cinco (5) aos membros da desigualdade, fica;

5 - 1 < x - 5 + 5 < 1 + 5 →

4 < x < 6 → subtraia 2 dos membros da desigualdade, vem;

4 - 2 < x - 2 < 6 - 2 →

2 < x - 2 < 4 →

2 < | x - 2 | < 4 →

[tex3]\frac{1}{2}>\frac{1}{|x-2|}>\frac{1}{4}[/tex3]

Logo,

[tex3]|\frac{1}{2-x}+\frac{1}{3}|= |\frac{x-5}{3(x-2)}|=\frac{1}{3}|\frac{1}{x-2}||x-5|<\frac{1}{3}×\frac{1}{2}|x-5|=\frac{1}{6}|x-5|[/tex3]

Então;

δ = min { 6×0,25 ; 1 }

δ = min { 1,5 ; 1 } = 1

Portanto,

δ = 1

Bons estudos!

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