Ensino Médio ⇒ Álgebra pura Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jan 2019
14
18:29
Álgebra pura
Utilizando apenas manipulações algébricas, determine: Se [tex3]x-(1/x)=3[/tex3]
, quanto vale [tex3]x^3+(1/x)^3[/tex3]
?
Última edição: regicide (Seg 14 Jan, 2019 18:30). Total de 1 vez.
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Jan 2019
14
18:50
Re: Álgebra pura
Se o enunciado estiver correto, eu não vejo saída senão achas as raízes de [tex3]x-(1/x)=3[/tex3]
se fosse [tex3]x^3-(1/x)^3[/tex3] ai seria fácil achar também
se fosse [tex3]x^3-(1/x)^3[/tex3] ai seria fácil achar também
Jan 2019
14
19:17
Re: Álgebra pura
Eu curso matemática, me propuseram esse desafio e eu também não consegui resolver sem recorrer à busca pelas raízes. Talvez, não tenha como mesmo.snooplammer escreveu: ↑Seg 14 Jan, 2019 18:50Se o enunciado estiver correto, eu não vejo saída senão achas as raízes de [tex3]x-(1/x)=3[/tex3]
se fosse [tex3]x^3-(1/x)^3[/tex3] ai seria fácil achar também
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Jan 2019
14
19:20
Re: Álgebra pura
Resolução
[tex3]x-\frac{1}{x}=3[/tex3]
[tex3](x-\frac{1}{x})^{2}=3^{2}[/tex3]
[tex3]x^{2}-2.\cancel x.\frac{1}{\cancel x}+\frac{1}{x^2}=9[/tex3]
[tex3]x^{2}-2+\frac{1}{x^2}=9\rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=11[/tex3] (1)
Somando 2 em cada membro de (1),e em seguida fatorando,temos:
[tex3]x^{2}+2+\frac{1}{x^2}=11+2[/tex3]
[tex3](x+\frac{1}{x})^{2}=13\rightarrow x+\frac{1}{x}=\pm \sqrt{13}[/tex3]
Agora,usamos a fatoração da soma de cubos:
[tex3]x^{3}+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})(x^2-x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})=\pm \sqrt{13}(11-1)[/tex3]
[tex3]x^{3}+\frac{1}{x^3}=\pm 10\sqrt{13}[/tex3]
[tex3]\therefore \boxed{x^3+\frac{1}{x^3}=\pm 10\sqrt{13}}[/tex3]
[tex3]x-\frac{1}{x}=3[/tex3]
[tex3](x-\frac{1}{x})^{2}=3^{2}[/tex3]
[tex3]x^{2}-2.\cancel x.\frac{1}{\cancel x}+\frac{1}{x^2}=9[/tex3]
[tex3]x^{2}-2+\frac{1}{x^2}=9\rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=11[/tex3] (1)
Somando 2 em cada membro de (1),e em seguida fatorando,temos:
[tex3]x^{2}+2+\frac{1}{x^2}=11+2[/tex3]
[tex3](x+\frac{1}{x})^{2}=13\rightarrow x+\frac{1}{x}=\pm \sqrt{13}[/tex3]
Agora,usamos a fatoração da soma de cubos:
[tex3]x^{3}+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})(x^2-x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})=\pm \sqrt{13}(11-1)[/tex3]
[tex3]x^{3}+\frac{1}{x^3}=\pm 10\sqrt{13}[/tex3]
[tex3]\therefore \boxed{x^3+\frac{1}{x^3}=\pm 10\sqrt{13}}[/tex3]
Imagination is more important than
knowledge(Albert Einstein)
knowledge(Albert Einstein)
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