Ensino Médio ⇒ Álgebra pura Tópico resolvido

[regicide]

Utilizando apenas manipulações algébricas, determine: Se [tex3]x-(1/x)=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x-(1/x)=3[/tex3]

, quanto vale [tex3]x^3+(1/x)^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^3+(1/x)^3[/tex3]

?

[snooplammer]

é [tex3]x-(1/x)=3[/tex3]

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[tex3]x-(1/x)=3[/tex3]

ou [tex3]x+(1/x)=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x+(1/x)=3[/tex3]

[regicide]

é [tex3]x-(1/x)=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x-(1/x)=3[/tex3]

ou [tex3]x+(1/x)=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x+(1/x)=3[/tex3]

[tex3]x-(1/x)=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x-(1/x)=3[/tex3]

mesmo.

[snooplammer]

Se o enunciado estiver correto, eu não vejo saída senão achas as raízes de [tex3]x-(1/x)=3[/tex3]

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[tex3]x-(1/x)=3[/tex3]

se fosse [tex3]x^3-(1/x)^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^3-(1/x)^3[/tex3]

ai seria fácil achar também

[regicide]

Se o enunciado estiver correto, eu não vejo saída senão achas as raízes de [tex3]x-(1/x)=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x-(1/x)=3[/tex3]

se fosse [tex3]x^3-(1/x)^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^3-(1/x)^3[/tex3]

ai seria fácil achar também

Eu curso matemática, me propuseram esse desafio e eu também não consegui resolver sem recorrer à busca pelas raízes. Talvez, não tenha como mesmo.

[jomatlove]

Resolução
[tex3]x-\frac{1}{x}=3[/tex3]

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[tex3]x-\frac{1}{x}=3[/tex3]

[tex3](x-\frac{1}{x})^{2}=3^{2}[/tex3]

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[tex3](x-\frac{1}{x})^{2}=3^{2}[/tex3]

[tex3]x^{2}-2.\cancel x.\frac{1}{\cancel x}+\frac{1}{x^2}=9[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{2}-2.\cancel x.\frac{1}{\cancel x}+\frac{1}{x^2}=9[/tex3]

[tex3]x^{2}-2+\frac{1}{x^2}=9\rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=11[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{2}-2+\frac{1}{x^2}=9\rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=11[/tex3]

(1)
Somando 2 em cada membro de (1),e em seguida fatorando,temos:
[tex3]x^{2}+2+\frac{1}{x^2}=11+2[/tex3]

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[tex3]x^{2}+2+\frac{1}{x^2}=11+2[/tex3]

[tex3](x+\frac{1}{x})^{2}=13\rightarrow x+\frac{1}{x}=\pm \sqrt{13}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x+\frac{1}{x})^{2}=13\rightarrow x+\frac{1}{x}=\pm \sqrt{13}[/tex3]

Agora,usamos a fatoração da soma de cubos:
[tex3]x^{3}+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})(x^2-x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})=\pm \sqrt{13}(11-1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{3}+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})(x^2-x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})=\pm \sqrt{13}(11-1)[/tex3]

[tex3]x^{3}+\frac{1}{x^3}=\pm 10\sqrt{13}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{3}+\frac{1}{x^3}=\pm 10\sqrt{13}[/tex3]

[tex3]\therefore \boxed{x^3+\frac{1}{x^3}=\pm 10\sqrt{13}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\therefore \boxed{x^3+\frac{1}{x^3}=\pm 10\sqrt{13}}[/tex3]