Ensino Superior ⇒ Diagonalização de Matrizes

[CAPITÃOVERDI]

Suponha que eu queira verificar se uma matriz A é diagonalizável. Então eu encontro o polinômio característico, acho os autovalores e monto as equações para encontrar os autovetores.

Aí surge o problema. Para um certo autovalor, o único autovetor possível é o vetor [tex3]\vec{0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{0}[/tex3]

.

Dessa forma, sendo a matriz A 3x3, a matriz diagonalizadora seria algo do tipo:

[tex3]\begin{pmatrix}
3 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
3 & 1 & 0\\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
3 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
3 & 1 & 0\\
\end{pmatrix}[/tex3]

Ou seja, usando os autovetores encontrados eu achei 2 autovetores e o vetor 0. Nesse caso eu posso já afirmar que a matriz não é diagonalizável? Ou devo proceder como usual?

PS: Outra dúvida que eu tenho é se toda matriz real possui a mesma quantidade de valores próprios que sua dimensão. E é possível uma matriz ter 0 valores próprios?

Visto que o essa matriz não é invertível creio eu que já posso afirmar que não é possível diagonalização.

[erihh3]

Isso. Ela não é invertível. Portanto não existe a inversa para que seja semelhante a matriz diagonalizada.


Quando você diz valores próprios, esta querendo dizer autovalores?

Outra dúvida que eu tenho é se toda matriz real possui a mesma quantidade de valores próprios que sua dimensão.

Não necessariamente. Uma matriz pode ter autovalores iguais.

é possível uma matriz ter 0 valores próprios?

Se estivermos falando de matriz reais, é possível. Se forem permitidos complexos, não.