Ensino Superior ⇒ Função Teoria dos conjuntos - Função Bijetora Tópico resolvido

[magben]

Dada a função [tex3]f(x) =2x^{2}-10x+12[/tex3]

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[tex3]f(x) =2x^{2}-10x+12[/tex3]

. Como faço para encontrar [tex3]f^{-1}(f([3,4]))[/tex3]

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[tex3]f^{-1}(f([3,4]))[/tex3]

?

[erihh3]

Para a função possuir inversa, ela precisa ser bijetora. Portanto, injetora e sobrejetora pelo menos no intervalo estudado.

O primeiro passo, então, é você determinar as raízes da função para você conferir se ela é injetora no intervalo pedido. Ou seja, ver se ela é estritamente crescente ou decrescente no intervalo pedido.

[tex3]f(x)=2.(x-2)(x-3)[/tex3]

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[tex3]f(x)=2.(x-2)(x-3)[/tex3]

Daí, pode-se dizer que ela é estritamente crescente nesse intervalo.

Como não foi dito nada sobre o contradomínio, vamos supor que ele é igual a imagem. Então, a nossa suposição é que a função já seja sobrejetora.

Com isso, f é biejtora e existe a sua inversa no intervalo pedido.


Para determinar a inversa, basta substituir x por y. Sendo y a inversa de f.

[tex3]x =2y^{2}-10y+12[/tex3]

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[tex3]x =2y^{2}-10y+12[/tex3]

[tex3]x =2\left(y^{2}-5y+6\right)[/tex3]

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[tex3]x =2\left(y^{2}-5y+6\right)[/tex3]

Completando quadrados

[tex3]x =2\left(y^{2}-5y+\frac{25}{4}-\frac{25}{4}+6\right)[/tex3]

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[tex3]x =2\left(y^{2}-5y+\frac{25}{4}-\frac{25}{4}+6\right)[/tex3]

[tex3]x =2\left(\left(y-\frac{5}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}\right)[/tex3]

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[tex3]x =2\left(\left(y-\frac{5}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}\right)[/tex3]

[tex3]\frac{x}{2}+\frac{1}{4}=\left(y-\frac{5}{2}\right)^{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{x}{2}+\frac{1}{4}=\left(y-\frac{5}{2}\right)^{2}[/tex3]

Pela função dada, y deve ser positiva e crescente nesse intervalo. Daí,

[tex3]\sqrt{\frac{x}{2}+\frac{1}{4}} +
\frac{5}{2}=y=f^{-1}(x)[/tex3]

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[tex3]\sqrt{\frac{x}{2}+\frac{1}{4}} +
\frac{5}{2}=y=f^{-1}(x)[/tex3]

Eu encontrei a inversa porque era a interpretação mais difícil e não sei se era isso que você queria. Mas, pelo jeito que esta escrito a questão, existe uma propriedade das funções inversas que diz que

[tex3]f^{-1}(f(x))=f(f^{-1}(x))=x[/tex3]

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[tex3]f^{-1}(f(x))=f(f^{-1}(x))=x[/tex3]

No caso da questão, [tex3]x\in[3,4][/tex3]

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[tex3]x\in[3,4][/tex3]

[magben]

erihh3, E se a questão disser que ela é uma função f(x) R -> R, a resposta continua sendo a mesma?

[erihh3]

Não seria. O problema de escolher esses conjuntos é que não existiria função inversa uma vez que f não seria nem injetora e nem sobrwjetora.

Veja que se o domínio forem os reais, a função, que é uma parábola, decresce até um ponto e depois começa a crescer a partir dele. Ou seja, haverão mais de dois elementos do domínio correspondendo a um elemento da imagem. Portanto, não será injetora.

Se o contradominio forem os reais, haverão elementos da imagem que não estarão contidos no contradomínio, haja vista que é uma parábola. Ja que ela tem um ponto mínimo limitado e bem definido, valores abaixo desse valor mínimo não pertenceram a imagem de f porém pertenceram ao contradominio. Portanto, não sera sobrejetora.

[magben]

erihh3,

Capturar.PNG (19.82 KiB) Exibido 1923 vezes

, Então a sua solução não se adequa a essa questão, ou a questão está errada?

[erihh3]

Eu não sei como essa notação entre parênteses restringe o que é pedido. Quando eu li, eu interpretei que ele queria a função inversa ou a própria relação ff^{-1}(x) no intervalo do domínio de 3 a 4 fechado.

Isso pode influenciar na imagem, mas não no contradominio. Eu acho que a função não seria sobrejetora e, portanto, não existiria inversa.