Hanon, eae! blz? Mano, acho que um meio viável para este tipo de equação, que eu não tenho ideia de como resolver algebricamente falando, seria fazer:
[tex3]x^2\:-\:\(2^x\:+\:3^x\:+\: 6^x \)\:=\:0[/tex3]
. Se o lado direito dessa equação for tomado como uma função f(x), fazer f(x)= 0 é nada mais do que encontrar suas raízes, certo? Então bora fazer o gráfico de f(x), a partir de uma tabela com valores quaisquer para x resultando em y; sugiro ir chutando de números negativos para números positivos; o objetivo é apenas notar alguma tendência. Perceba que não se formará gráfico com assíndotas horizontais ou verticais, como nas funções racionais, uma vez que se trata de uma função f(x) com domínio para todos os reais e contradomínio tbm para todos os reais (não que isso seja uma regra, mas aqui se aplica.. mais embaixo te mostro a partir de limites o que quero te dizer).
__x__ |__ y __
_ -4___|__15.92
_ -3___|__8.33
_ -2___|__3.61
_ 0____|__-3___
__ 1___|__-10
_ 2____|__-45
_ 3____|__-242
Perceba que quando coloquei alguns valores negativos, y deu valores positivos... e dps começaram valores de y negativos.. Logo, há alguma intersecção da função no eixo "x", percebe? Há uma raiz dentre esses valores; o teorema que garante isso é o
Teorema de Bolzano: Se no intervalo [a ; b], [tex3]f(a)\cdot f(b)\:<0 \Rightarrow\:\exists \:[/tex3]
um número ímpar de raízes reais neste intervalo. Observe que no intervalo [-2 ; 0] ocorre f(-2)f(0)<0; há uma raiz entre esses números. Afinal, o sinal dos valores é diferente! Isso é um pouco intuitivo, eu acho.
Chutando o valor de -1, visto que [tex3]-1\:\in \:[-2\:;\:0][/tex3]
, ocorre que f(-1) = 0. Portanto, x = -1 é uma raiz dessa função, e tbm é uma solução ao problema inicial. Para verificar se não há mais raízes, basta estudar a tendência do comportamento de f(x) para valores exorbitantes:
[tex3]\begin{cases}
\lim_{x \rightarrow +\infty}\;f(x)\:\:\Rightarrow\;\;f(x)\rightarrow -\infty \\
\lim_{x \rightarrow -\infty}\;f(x)\:\:\Rightarrow\;\;f(x)\rightarrow+\infty
\end{cases}[/tex3]
Perceba, dessa forma, que a tendência de f(x) pra valores menores do que -1 é de valores sempre positivos, enquanto para valores maiores do que -1, f(x) apenas fornece valores negativo.
R.: [tex3]\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\therefore\;\;S\:=\:\{-1\}[/tex3]
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Espero que ajude!!