Concursos Públicos ⇒ Geometria Espacial Tópico resolvido

[carlosalves10]

Uma das faces de um tetraedro regular está inscrita em uma circunferência de raio 2m.

A área da superfície total desse tetraedro é:

(A) 12 √3
(B) 48 √3
(C) 24 √3
(D) 8 √3
(E) 32 √3

[rodBR]

O enunciado não é só isso... Não tem pergunta?

[carlosalves10]

A área da superfície total desse tetraedro é....?

[AlguémMeHelp]

E ae, Carlosalves10! Blz? (ainda não sei como marcar teu nome aqui, se souber como! ficaria grato)

Vamos aos conceitos/convenções matemáticas: quando o enunciado te afirmar que se trata de um "tetraedro", já pense numa pirâmide de 4 faces (por isso o "tetra") triangulares; o fato de ser regular consiste em dizer que todos esses triângulos são equiláteros. Logo, aquelas propriedades específicas para esse triângulo (lados iguais, BICO num só ponto, [tex3]h\:=l\sqrt{3}/2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]h\:=l\sqrt{3}/2[/tex3]

, [tex3]Área\:=\:l^{2}\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex3]

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[tex3]Área\:=\:l^{2}\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex3]

) são válidas aqui!

Prosseguindo à resolução: Como bem ilustrado pela figura que vc trouxe, a circunferência circunscreve uma das faces. Dentre as propriedades, há aquela que afirma que neste caso o triângulo e a circunferência têm o mesmo centro. Se vc imaginar isso, e ligar deste centro a um dos vértices do triângulo, essa distância é o raio (que é de 2 metros, no caso), certo? consegue visualizar? Outra propriedade, agora quanto ao baricentro, é a de que essa reta que liga o centro, que contem o ponto G, ao vértice equivale a 2/3 da altura!
(((este site demonstra por imagens o que acabei de te falar!))) mas vamos calcular então: o que eu disse é que o raio corresponde a 2/3 da altura. Logo: [tex3]R=\frac{2}{3}h[/tex3]

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[tex3]R=\frac{2}{3}h[/tex3]

, mas [tex3]h\:=l\sqrt{3}/2\;\;\rightarrow \; R=\frac{2}{3}l\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

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[tex3]h\:=l\sqrt{3}/2\;\;\rightarrow \; R=\frac{2}{3}l\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

[tex3]\rightarrow\; l=\frac{3}{\sqrt{3}}R[/tex3]

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[tex3]\rightarrow\; l=\frac{3}{\sqrt{3}}R[/tex3]

, sendo R = 2, [tex3]\therefore\; l= \frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\:metros[/tex3]

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[tex3]\therefore\; l= \frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\:metros[/tex3]

. AHHH lembrando que "l" é o lado de cada triângulo!

Já que se trata de um tetraedro, são 4 faces triângulares, portanto basta calcular 4 vezes a área de 1 triângulo dentre eles:
[tex3]Área\:=\:4\cdot l^{2}\frac{3}{4}\:\;\rightarrow \;\; A=\:l^{2}\cdot \sqrt{3}\;\;\rightarrow\;\; A=(2\sqrt{3})^{2}\cdot \sqrt{3} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Área\:=\:4\cdot l^{2}\frac{3}{4}\:\;\rightarrow \;\; A=\:l^{2}\cdot \sqrt{3}\;\;\rightarrow\;\; A=(2\sqrt{3})^{2}\cdot \sqrt{3} [/tex3]

[tex3]\therefore\:A=12\sqrt{3}\:metros\:quadrados\;\;\;\;\;\rightarrow Gaba\;[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\therefore\:A=12\sqrt{3}\:metros\:quadrados\;\;\;\;\;\rightarrow Gaba\;[/tex3]

A

Espero ter ajudado, mano!! TMJ