Ensino Superior ⇒ Limites - James Stewart Tópico resolvido
- jvmago
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Nov 2018
26
10:48
Limites - James Stewart
Calcule [tex3]\lim _{x\to \infty }\left(\frac{\left(x+2\right)^{\frac{1}{x}}-x^{\frac{1}{x}}}{\left(x+3\right)^{\frac{1}{x}}-x^{\frac{1}{x}}}\right)[/tex3]
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
- erihh3
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Nov 2018
27
00:07
Re: Limites - James Stewart
Dividindo por [tex3]x^{\frac{1}{x}}[/tex3]
[tex3]\lim _{x\to \infty }\left(\frac{\left(1+\frac{2}{x}\right)^{\frac{1}{x}}-1}{\left((1+\frac{3}{x}\right)^{\frac{1}{x}}-1}\right)[/tex3]
Substituição de variável: [tex3]y=\frac{1}{x}[/tex3]
[tex3]\lim _{y\to 0 }\left(\frac{\left(1+2y\right)^{y}-1}{\left(1+3y\right)^{y}-1}\right)[/tex3]
A ideia a partir daqui é usa a expansão em série de taylor e limitando com "ó pequeno". Daí,
[tex3]f(y)=(1+2y)^y=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}.y+\frac{f''(0)}{2!}.y^2+o(y^2)[/tex3]
[tex3](1+2y)^y=1+0+2.y^2+o(y^2)=1+2.y^2+o(y^2)[/tex3]
Analogamente,
[tex3](1+3y)^y=1+3y^2+o(y^2)[/tex3]
Substituindo no limite, tem-se:
[tex3]\lim _{y\to 0 }\left(\frac{1+2.y^2+o(y^2)-1}{1+3y^2+o(y^2)-1}\right)[/tex3]
[tex3]\lim _{y\to 0 }\left(\frac{2.y^2+o(y^2)}{3y^2+o(y^2)}\right)[/tex3]
[tex3]\lim _{y\to 0 }\left(\frac{2+\frac{o(y^2)}{y^2}}{3+\frac{o(y^2)}{y^2}}\right)[/tex3]
Pela própria definição de "ó pequeno", [tex3]\lim_{x\to 0}\frac{o(x)}{x}=0[/tex3]
Daí,
[tex3]\lim _{y\to 0 }\left(\frac{2+\frac{o(y^2)}{y^2}}{3+\frac{o(y^2)}{y^2}}\right)=\frac{2}{3}[/tex3]
[tex3]\lim _{x\to \infty }\left(\frac{\left(1+\frac{2}{x}\right)^{\frac{1}{x}}-1}{\left((1+\frac{3}{x}\right)^{\frac{1}{x}}-1}\right)[/tex3]
Substituição de variável: [tex3]y=\frac{1}{x}[/tex3]
[tex3]\lim _{y\to 0 }\left(\frac{\left(1+2y\right)^{y}-1}{\left(1+3y\right)^{y}-1}\right)[/tex3]
A ideia a partir daqui é usa a expansão em série de taylor e limitando com "ó pequeno". Daí,
[tex3]f(y)=(1+2y)^y=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}.y+\frac{f''(0)}{2!}.y^2+o(y^2)[/tex3]
[tex3](1+2y)^y=1+0+2.y^2+o(y^2)=1+2.y^2+o(y^2)[/tex3]
Analogamente,
[tex3](1+3y)^y=1+3y^2+o(y^2)[/tex3]
Substituindo no limite, tem-se:
[tex3]\lim _{y\to 0 }\left(\frac{1+2.y^2+o(y^2)-1}{1+3y^2+o(y^2)-1}\right)[/tex3]
[tex3]\lim _{y\to 0 }\left(\frac{2.y^2+o(y^2)}{3y^2+o(y^2)}\right)[/tex3]
[tex3]\lim _{y\to 0 }\left(\frac{2+\frac{o(y^2)}{y^2}}{3+\frac{o(y^2)}{y^2}}\right)[/tex3]
Pela própria definição de "ó pequeno", [tex3]\lim_{x\to 0}\frac{o(x)}{x}=0[/tex3]
Daí,
[tex3]\lim _{y\to 0 }\left(\frac{2+\frac{o(y^2)}{y^2}}{3+\frac{o(y^2)}{y^2}}\right)=\frac{2}{3}[/tex3]
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