IME / ITA ⇒ (Simulado IME/ITA) Geometria Plana Tópico resolvido

[Flavio2020]

No gráfico, G é ponto de tangência, AB=4 e CD=3(DF). Calcule AC.

ii.PNG (9.66 KiB) Exibido 1512 vezes

a) 12
b) 20
c) 16
d) 8
e) 24

Resposta

---

a

[Andre13000]

Chame BG de x. Então, pelas semelhanças e por tales, temos que GC=3x. Traçando, a partir do centro O do círculo, o segmento OG, os triângulos GCO e BCA são semelhantes. Daí, se AC=y, temos:

1. Pitágoras: [tex3]16+16x^2=y^2[/tex3]

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[tex3]16+16x^2=y^2[/tex3]

2. Potência de ponto em C: [tex3](3x)^2=(y-2R)y[/tex3]

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[tex3](3x)^2=(y-2R)y[/tex3]

3. A semelhança: [tex3]\frac{R}{x}=\frac{y}{4x}[/tex3]

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[tex3]\frac{R}{x}=\frac{y}{4x}[/tex3]

Basta agora resolver as equações. Curiosamente, eu cheguei em outro resultado que não foi nem bonito, então vou deixar aqui pra ver se alguém percebe algum erro.

[Killin]

É só fazer a semelhança: [tex3]\frac{R}{3x}=\frac{4}{4x} \rightarrow R=3[/tex3]

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[tex3]\frac{R}{3x}=\frac{4}{4x} \rightarrow R=3[/tex3]

e depois jogar em y = 4R

[jvmago]

tem coisa errada no enunciado, [tex3]BC=12[/tex3]

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[tex3]BC=12[/tex3]

e não [tex3]AC[/tex3]

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[tex3]AC[/tex3]

[jvmago]

Seja [tex3]N,M,C[/tex3]

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[tex3]N,M,C[/tex3]

pontos consecutivos onde [tex3]N,M[/tex3]

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[tex3]N,M[/tex3]

são os pés dos pontos [tex3]B,G[/tex3]

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[tex3]B,G[/tex3]

respectivamente, [tex3]O[/tex3]

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[tex3]O[/tex3]

o centro da circunferencia e [tex3]H[/tex3]

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[tex3]H[/tex3]

o pé da perpendicular de [tex3]O[/tex3]

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[tex3]O[/tex3]

sobre [tex3]AB[/tex3]

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[tex3]AB[/tex3]

. Vamos brincar!

O raio da circunferência será [tex3]r[/tex3]

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[tex3]r[/tex3]

depois de todas as marcações teremos :

[tex3]AH=4-r[/tex3]

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[tex3]AH=4-r[/tex3]

, [tex3]OH=BG=r[/tex3]

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[tex3]OH=BG=r[/tex3]

e [tex3]OH=r[/tex3]

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[tex3]OH=r[/tex3]

Por semelhança temos:

[tex3]\frac{4-r}{r}=\frac{r}{CG}[/tex3]

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[tex3]\frac{4-r}{r}=\frac{r}{CG}[/tex3]

tal que [tex3]CG=\frac{r^2}{4-r}[/tex3]

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[tex3]CG=\frac{r^2}{4-r}[/tex3]

repare agora que [tex3]BC=r+\frac{r^2}{4-r}[/tex3]

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[tex3]BC=r+\frac{r^2}{4-r}[/tex3]

portanto:[tex3]BC=\frac{4r}{4-r}[/tex3]

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[tex3]BC=\frac{4r}{4-r}[/tex3]

Se voce tiver malandro ja viu que o problema morreu!!!

Os [tex3]\Delta MCD[/tex3]

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[tex3]\Delta MCD[/tex3]

~[tex3]\Delta NCF[/tex3]

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[tex3]\Delta NCF[/tex3]

cuja razão é 3/4 PARA 1 mas espera aí [tex3]\frac{MC}{NC}=\frac{3}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{MC}{NC}=\frac{3}{4}[/tex3]

PORTANTO : [tex3]\frac{GC}{BC}=\frac{3}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{GC}{BC}=\frac{3}{4}[/tex3]

substituindo

[tex3]\frac{\frac{r^2}{4-r}}{\frac{4r}{4-r}}=\frac{3}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{\frac{r^2}{4-r}}{\frac{4r}{4-r}}=\frac{3}{4}[/tex3]

[tex3]4r^2=12r[/tex3]

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[tex3]4r^2=12r[/tex3]

[tex3]r=0[/tex3]

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[tex3]r=0[/tex3]

ou [tex3]r=3[/tex3]

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[tex3]r=3[/tex3]

jogando na formula de [tex3]BC[/tex3]

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[tex3]BC[/tex3]

temos: [tex3]BC=\frac{4*3}{4-3}=12[/tex3]

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[tex3]BC=\frac{4*3}{4-3}=12[/tex3]

PIMBADA DE RESPEITO!!!

[jvmago]

Vale notar também que [tex3]AC=\sqrt{16+144}=\sqrt{160}[/tex3]

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[tex3]AC=\sqrt{16+144}=\sqrt{160}[/tex3]

[Andre13000]

É só fazer a semelhança: [tex3]\frac{R}{3x}=\frac{4}{4x} \rightarrow R=3[/tex3]

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[tex3]\frac{R}{3x}=\frac{4}{4x} \rightarrow R=3[/tex3]

e depois jogar em y = 4R

Tem toda a razão