Preciso entender o desenvolvimento desta questão.
Determine a taxa e variação de f (x,y,z) = xz/ (x2+y2 + 1) no ponto (1,0, -1) na direção do vetor u = r ' (t) onde r(t) = (t, 1 + 2t, -1 + t).
Gabarito: raiz 6/2
Ensino Superior ⇒ Taxa e Variação de uma função. Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
- Mensagens: 31
- Registrado em: 17 Fev 2018, 19:57
- Última visita: 23-04-19
- Agradeceram: 3 vezes
-
- Mensagens: 4008
- Registrado em: 05 Jan 2018, 19:45
- Última visita: 04-04-23
- Localização: Teresina- PI
- Agradeceu: 268 vezes
- Agradeceram: 1109 vezes
Out 2018
19
01:09
Re: Taxa e Variação de uma função.
Observe
Uma solução:
O primeiro passo será normalizar o vetor u = r'( t ) , temos
r'( t ) = ( 1 , 2 , 1 ) , ou seja , [tex3]\vec{u}=(1,2,1)[/tex3] , vem;
[tex3]\vec{u}=\sqrt{1^2+2^2+1^2}[/tex3] = √6
A norma do vetor u é √6. Vamos dividir cada componente do vetor pela sua norma para encontrar o seu versor ou vetor unitário.
[tex3]\vec{v}[/tex3] = ( 1/√6 , 2/√6 , 1/√6 )
Daí;
[tex3]v_{1}[/tex3] = 1/√6
[tex3]v_{2}[/tex3] = 2/√6
[tex3]v_{3}[/tex3] = 1/√6
Devemos encontrar as derivadas parciais da função f.
[tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)= f_{x}(x,y,z).v_{1}+f_{y}(x,y,z).v_{2} + f_{z}(x,y,z).v_{3}[/tex3]
[tex3]f_{x}=\frac{(xz)'.(x^2+y^2+1)-(xz)(x^2+y^2+1)'}{(x^2+y^2+1)^2}[/tex3]
Obs. Apliquei a regra da derivada do quociente em relação a "x".
Desenvolvendo, resulta;
[tex3]f_{x}=\frac{z(-x^2+y^2+1)}{(x^2+y^2+1)^2}[/tex3]
Para fy segue o mesmo processo , só com uma diferença que será em relação a "y", resultando em;
[tex3]f_{y}=-\frac{2xyz}{(x^2+y^2+1)^2}[/tex3]
Calculando fz , observando que x/( x² + y² + 1 ) é uma constante, fica;
[tex3]f_{z}=\frac{x}{x^2+y^2+1}.z'[/tex3]
[tex3]f_{z}=\frac{x}{x^2+y^2+1}[/tex3]
Agora, iremos achar o valor de cada derivada parcial aplicada ao ponto P( 1 , 0 , - 1 ):
[tex3]f_{x}=\frac{-1.(-1^2+0^2+1)}{(1^2+0^2+1)^2}=0[/tex3]
[tex3]f_{y}=-\frac{2.1.0.(-1)}{(1^2+0^2+1)^2}=0[/tex3]
[tex3]f_{z}=\frac{1}{1^2+0^2+1}=\frac{1}{2}[/tex3]
Então;
[tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)= f_{x}(x,y,z).v_{1}+f_{y}(x,y,z).v_{2} + f_{z}(x,y,z).v_{3}[/tex3]
[tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)= 0.\frac{1}{\sqrt{6}}+ 0.\frac{2}{\sqrt{6}}+ \frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{6}}[/tex3]
[tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)= 0.\frac{1}{\sqrt{6}}+ 0.\frac{2}{\sqrt{6}}+ \frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{6}}[/tex3]
[tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)=\frac{1}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2.6}=\frac{\sqrt{6}}{12}[/tex3]
Portanto, [tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)=\frac{\sqrt{6}}{12}[/tex3]
Bons estudos!
Uma solução:
O primeiro passo será normalizar o vetor u = r'( t ) , temos
r'( t ) = ( 1 , 2 , 1 ) , ou seja , [tex3]\vec{u}=(1,2,1)[/tex3] , vem;
[tex3]\vec{u}=\sqrt{1^2+2^2+1^2}[/tex3] = √6
A norma do vetor u é √6. Vamos dividir cada componente do vetor pela sua norma para encontrar o seu versor ou vetor unitário.
[tex3]\vec{v}[/tex3] = ( 1/√6 , 2/√6 , 1/√6 )
Daí;
[tex3]v_{1}[/tex3] = 1/√6
[tex3]v_{2}[/tex3] = 2/√6
[tex3]v_{3}[/tex3] = 1/√6
Devemos encontrar as derivadas parciais da função f.
[tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)= f_{x}(x,y,z).v_{1}+f_{y}(x,y,z).v_{2} + f_{z}(x,y,z).v_{3}[/tex3]
[tex3]f_{x}=\frac{(xz)'.(x^2+y^2+1)-(xz)(x^2+y^2+1)'}{(x^2+y^2+1)^2}[/tex3]
Obs. Apliquei a regra da derivada do quociente em relação a "x".
Desenvolvendo, resulta;
[tex3]f_{x}=\frac{z(-x^2+y^2+1)}{(x^2+y^2+1)^2}[/tex3]
Para fy segue o mesmo processo , só com uma diferença que será em relação a "y", resultando em;
[tex3]f_{y}=-\frac{2xyz}{(x^2+y^2+1)^2}[/tex3]
Calculando fz , observando que x/( x² + y² + 1 ) é uma constante, fica;
[tex3]f_{z}=\frac{x}{x^2+y^2+1}.z'[/tex3]
[tex3]f_{z}=\frac{x}{x^2+y^2+1}[/tex3]
Agora, iremos achar o valor de cada derivada parcial aplicada ao ponto P( 1 , 0 , - 1 ):
[tex3]f_{x}=\frac{-1.(-1^2+0^2+1)}{(1^2+0^2+1)^2}=0[/tex3]
[tex3]f_{y}=-\frac{2.1.0.(-1)}{(1^2+0^2+1)^2}=0[/tex3]
[tex3]f_{z}=\frac{1}{1^2+0^2+1}=\frac{1}{2}[/tex3]
Então;
[tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)= f_{x}(x,y,z).v_{1}+f_{y}(x,y,z).v_{2} + f_{z}(x,y,z).v_{3}[/tex3]
[tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)= 0.\frac{1}{\sqrt{6}}+ 0.\frac{2}{\sqrt{6}}+ \frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{6}}[/tex3]
[tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)= 0.\frac{1}{\sqrt{6}}+ 0.\frac{2}{\sqrt{6}}+ \frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{6}}[/tex3]
[tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)=\frac{1}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2.6}=\frac{\sqrt{6}}{12}[/tex3]
Portanto, [tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)=\frac{\sqrt{6}}{12}[/tex3]
Bons estudos!
-
- Mensagens: 31
- Registrado em: 17 Fev 2018, 19:57
- Última visita: 23-04-19
- Agradeceram: 3 vezes
-
- Mensagens: 4008
- Registrado em: 05 Jan 2018, 19:45
- Última visita: 04-04-23
- Localização: Teresina- PI
- Agradeceu: 268 vezes
- Agradeceram: 1109 vezes
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última mensagem
-
- 1 Respostas
- 741 Exibições
-
Última mensagem por LucasPinafi
-
- 1 Respostas
- 824 Exibições
-
Última mensagem por aleixoreis
-
- 1 Respostas
- 619 Exibições
-
Última mensagem por VALDECIRTOZZI
-
- 2 Respostas
- 532 Exibições
-
Última mensagem por iceman
-
- 2 Respostas
- 447 Exibições
-
Última mensagem por iceman