Fui ler um pouco sobre geometria aqui e me deparei com um dos infinitos casos em que a aplicação do teorema do incentro torna o problema trivial então vou adicionar essa demonstração aqui no fórum.
TESE: [tex3]\frac{a+b}{c}=\frac{m}{n}[/tex3]
Seja [tex3]E[/tex3]
o incentro do [tex3]\Delta ABC[/tex3]
, podemos afirmar com certeza que [tex3]BD[/tex3]
é bissetriz. Pelo teorema da bissetriz interna em ABC temos:
[tex3]\frac{x}{a}=\frac{y}{b}[/tex3]
[tex3]\frac{x}{y}=\frac{a}{b}[/tex3]
usando uma propriedade de proporções teremos o seguinte:
[tex3]\frac{x+y}{y}=\frac{a+b}{b}[/tex3]
(1)
note agora que [tex3]x+y=c[/tex3]
(2)
fazendo (2) em (1)
[tex3]\frac{c}{y}=\frac{a+b}{b}[/tex3]
(3)
Note agora no [tex3]\Delta BCD[/tex3]
que se traçar-mos [tex3]EC[/tex3]
, ela também será bissetriz já que encontra o incentro. Pelo teorema da bissetriz interna em BCD temos:
[tex3]\frac{m}{b}=\frac{n}{y}[/tex3]
(4)
comparando (3) e (4) teremos o seguinte:
[tex3]\frac{a+b}{b}=\frac{c}{y}[/tex3]
[tex3]\frac{a+b}{c}=\frac{b}{y}[/tex3]
(4)
temos também que [tex3]\frac{m}{b}=\frac{n}{y}[/tex3]
[tex3]\frac{m}{n}=\frac{b}{y}[/tex3]
(5)
substituindo (4) em (5) temos
[tex3]\frac{m}{n}=\frac{a+b}{c}[/tex3]
forte abraço
Demonstrações ⇒ (Demonstração) Teorema do incentro
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- jvmago
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Set 2018
05
15:45
(Demonstração) Teorema do incentro
Editado pela última vez por jvmago em 05 Set 2018, 15:47, em um total de 2 vezes.
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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