Pré-Vestibular ⇒ (FBD 2015.2) Função inversa Tópico resolvido

[danimedrado]

Na figura, a curva f definida por f(x)=2x+1 e sua inversa f^-1 representam lados opostos de um trecho de rua. Nessas condições, pode-se afirmar que a distância mínima a ser percorrida para atravessar essa rua, do ponto P até o ponto Q, em unidades de comprimento, é igual a:

24dewaw.png (7.73 KiB) Exibido 975 vezes

01) [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

.
02) 2.
03) 2 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

.
04) 3.
05) 3 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

.

Resposta

---

03

Alguém poderia me auxiliar nessa questão?

[Auto Excluído (ID:21471)]

Vamos descobrir a função inversa de f(x)=2x+1, vou chamar ela de g(x), ok? Para encontrar a função inversa, basta trocar os valores de x e y.
[tex3]y=2x+1=>x=2y+1=>2y=x-1=>y=\dfrac{x-1}{2}=>g(x)=\dfrac{x-1}{2}\\\\
f(x)=2x+1\\g(x)=\dfrac{x-1}{2}\\[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=2x+1=>x=2y+1=>2y=x-1=>y=\dfrac{x-1}{2}=>g(x)=\dfrac{x-1}{2}\\\\
f(x)=2x+1\\g(x)=\dfrac{x-1}{2}\\[/tex3]

Note que o x do ponto P é exatamente quando o y da g(x) é 0, então encontraremos esse ponto:
[tex3]g(x)=\dfrac{x-1}{2}=>0=\dfrac{x-1}{2}=>\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2}=>\\=>\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{2}=>x=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]g(x)=\dfrac{x-1}{2}=>0=\dfrac{x-1}{2}=>\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2}=>\\=>\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{2}=>x=1[/tex3]

Sabemos que o x do ponto P é 1. Aplicaremos esse valor na f(x) agora:
[tex3]f(x)=2x+1=>y=2(1)+1=>y=3\\=>P(1,3)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=2x+1=>y=2(1)+1=>y=3\\=>P(1,3)[/tex3]

Note que o y de Q é o ponto em que a função f(x) tem seu x = 0, para encontrar esse y, basta substituir na f(x):
[tex3]f(x)=2x+1=>y=2.0+1=>y=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=2x+1=>y=2.0+1=>y=1[/tex3]

Para descobrirmos o x de Q, basta substituir o y na g(x):
[tex3]g(x)=\dfrac{x-1}{2}=>1=\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2}=>2=x-1=>x=3\\Q(3,1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]g(x)=\dfrac{x-1}{2}=>1=\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2}=>2=x-1=>x=3\\Q(3,1)[/tex3]

Utilizando a fórmula da distância entre os pontos P e Q.
[tex3]P(1,3)\\G(3,1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P(1,3)\\G(3,1)[/tex3]

[tex3]d^2=(xP-xQ)^2+(yP-yQ)^2=>d^2=(1-3)^2+(3-1)^2=>d^2=4+4=8=>d=2\sqrt2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d^2=(xP-xQ)^2+(yP-yQ)^2=>d^2=(1-3)^2+(3-1)^2=>d^2=4+4=8=>d=2\sqrt2[/tex3]

A distância entre o ponto P e Q é [tex3]2\sqrt2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\sqrt2[/tex3]

. Alternativa 03
Existem maneiras mais rápidas de se resolver essa questão, mas decidi explicar do jeito mais chatinho porque você utiliza vários artifícios diferentes e vai melhorando sua base. Ao longo do tempo você vai perceber as coisas mais rápido e pulando etapas. Tente resolver essa questão sabendo que o x da função f(x) tem o mesmo valor do y da g(x), pois são funções inversas.