Ensino Superior ⇒ altura diferencial do fluido fenomenos do transporte Tópico resolvido

[johnatta]

Ar a 110 kPa e 50 °C escoa para cima através de um duto inclinado com 6 cm de diâmetro a uma vazão de 45 L/s. O diâmetro do duto é reduzido para 4 cm por meio de um redutor. A variação de pressão através do redutor é medida por um manômetro de água. A diferença de elevação entre os dois pontos do tubo onde os dois braços do manômetro estão ligados é de 0,20 m. Determine a altura diferencial entre os níveis de fluido dos dois braços do manômetro

Resposta

---

6,24cm

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[Cardoso1979]

Olá!

Mais tarde resolverei essa questão...para encerrar a minha participação aqui, pois estou ultimamente muito ocupado com os trabalhos ( leciono aqui no PI e no MA ) , o negócio está muito "arrochado" aqui para mim , depois quando desafogar aqui eu retornarei aos pouco( sem previsão ).

Até mais tarde!

[Cardoso1979]

Perai , pensando mais um pouco... Vamos lá!

[Cardoso1979]

Observe

Solução

O ar flui para cima através de um duto inclinado cujo diâmetro é reduzido através de um redutor. A altura diferencial entre os níveis de fluido dos dois braços de um manômetro de água fixado ao longo do redutor deve ser determinado.

Hipótese : ( antes eu usava a palavra consideração , tanto faz , porém , a palavra mais adequada é essa ).

1) - O escoamento através do duto é estável, incompressível e irrotacional , os efeitos do atrito são desprezíveis ( de modo que a equação de Bernoulli se aplica ).

2)- O ar é um gás ideal.

3) - O efeito da coluna de ar na mudança de pressão é desprezível devido à sua baixa densidade.

4) - O fluxo de ar é paralelo à entrada de cada braço do manômetro e , portanto , não há efeitos dinâmicos envolvidos.

Propriedades:

Tomamos a densidade da água como 1000kg/m³ e a constante de gás do ar como R = 0,287kPa.m³/kg.K

Fazendo uma análise temos que:

Consideramos os pontos 1 e 2 nos pontos de conexão inferior e superior, respectivamente, dos dois braços do manômetro e tomamos o ponto de conexão inferior ( ponto 1 ) como o nível de referência. Observando que o efeito da elevação na mudança de pressão de um gás é insignificante ( desprezível ), então aplicamos a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2, temos:

[tex3]\frac{P_{1}}{\rho g}+\frac{v_{1}^2}{2g}+z_{1} = \frac{P_{2}}{\rho g}+\frac{v_{2}^2}{2g}+z_{2} \ → P_{1}-P_{2}=\rho_{ar}\frac
{v_{2}^2-v_{1}^2}{2} \ ( I ) [/tex3]

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[tex3]\frac{P_{1}}{\rho g}+\frac{v_{1}^2}{2g}+z_{1} = \frac{P_{2}}{\rho g}+\frac{v_{2}^2}{2g}+z_{2} \ → P_{1}-P_{2}=\rho_{ar}\frac
{v_{2}^2-v_{1}^2}{2} \ ( I ) [/tex3]

Onde;

[tex3]\rho_{ar}=\frac{P}{RT}=\frac{110kPa}{(0,287kPa.m^3/kg.K)(50+273K)}=1,19kg/m^3 \ ( II )[/tex3]

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[tex3]\rho_{ar}=\frac{P}{RT}=\frac{110kPa}{(0,287kPa.m^3/kg.K)(50+273K)}=1,19kg/m^3 \ ( II )[/tex3]

[tex3]v_{1}=\frac{V}{A_{1}}=\frac{V}{\frac{ πD_{1}^2}{4}}=\frac{0,045m^3/s}{\frac{π(0,06m)^2}{4}}=15,9m/s \ ( III )[/tex3]

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[tex3]v_{1}=\frac{V}{A_{1}}=\frac{V}{\frac{ πD_{1}^2}{4}}=\frac{0,045m^3/s}{\frac{π(0,06m)^2}{4}}=15,9m/s \ ( III )[/tex3]

[tex3]v_{2}=\frac{V}{A_{2}}=\frac{V}{\frac{
πD_{2}^2}{4}}=\frac{0,045m^3/s}{\frac{π(0,04m)^2}{4}}=35,8m/s \ ( IV )[/tex3]

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[tex3]v_{2}=\frac{V}{A_{2}}=\frac{V}{\frac{
πD_{2}^2}{4}}=\frac{0,045m^3/s}{\frac{π(0,04m)^2}{4}}=35,8m/s \ ( IV )[/tex3]

Obs.1 - Os valores encontrados acima foram aproximados.


Substituindo ( I I ) , ( I I I ) e ( IV ) em ( I ), vem;

[tex3]P_{1}-P_{2}=(1,19kg/m^3)\frac{(35,8m/s)^2-(15,9m/s)^2}{2}\left(\frac{1N}{1kg.m/s^2}\right) [/tex3]

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[tex3]P_{1}-P_{2}=(1,19kg/m^3)\frac{(35,8m/s)^2-(15,9m/s)^2}{2}\left(\frac{1N}{1kg.m/s^2}\right) [/tex3]

[tex3]P_{1}-P_{2}≈612N/m^2 ≈ 612Pa[/tex3]

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[tex3]P_{1}-P_{2}≈612N/m^2 ≈ 612Pa[/tex3]

A altura diferencial da água no manômetro correspondente a essa mudança de pressão é determinada por ∆P = [tex3]\rho_{água}.g.h[/tex3]

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[tex3]\rho_{água}.g.h[/tex3]

, então

[tex3]h = \frac{P_{1}-P_{2}}{\rho_{água}.g}=\frac{612N/m^2}{(1000kg/m^3)(9,81m/s^2)}\left(\frac{1kg.m/s^2}{1N}\right)=0,06238m[/tex3]

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[tex3]h = \frac{P_{1}-P_{2}}{\rho_{água}.g}=\frac{612N/m^2}{(1000kg/m^3)(9,81m/s^2)}\left(\frac{1kg.m/s^2}{1N}\right)=0,06238m[/tex3]

h ≈ 6,24cm

Obs.2 - Só para reforçar , eu não vou fazer o desenho, pois dá para você aproveitar o seu, vamos lá, bem próximo da primeira abertura ( entrada do braço do manômetro ) , entrada inferior , você coloca o ponto 1 e o ponto 2 bem próximo da entrada da parte de cima , superior , ( no outro braço do manômetro ) , pronto, só isso , nem precisava mais digitar isso, pois já foi "falado" na parte da "análise"...

Nota

Quando o efeito da coluna de ar na mudança de pressão é considerado, a mudança de pressão torna-se:

[tex3]P_{1}-P_{2}= \frac{\rho_{ar}(v_{2}^2-v_{1} ^2)}{2}+\rho_{ar}g(z_{2}-z_{1})=(1,19kg/m^3)[\frac{(35,8m/s)^2-(15,9m/s)^2}{2}+(9,81m/s^2)(0,2m)]\left(\frac{1N}{1kg.m/s^2}\right)= ( 612+2 ) N/m^2=614Pa[/tex3]

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[tex3]P_{1}-P_{2}= \frac{\rho_{ar}(v_{2}^2-v_{1} ^2)}{2}+\rho_{ar}g(z_{2}-z_{1})=(1,19kg/m^3)[\frac{(35,8m/s)^2-(15,9m/s)^2}{2}+(9,81m/s^2)(0,2m)]\left(\frac{1N}{1kg.m/s^2}\right)= ( 612+2 ) N/m^2=614Pa[/tex3]

Essa diferença entre os dois resultados ( 612 e 614 Pa ) é menor que 1% . Portanto, o efeito da coluna de ar na mudança de pressão é, na verdade , insignificante, como se supõe. Em outras palavras, a mudança de pressão do ar no duto é quase inteiramente devido à mudança de velocidade, e o efeito da mudança de elevação é insignificante. Além disso, se considerássemos a ∆z do fluxo de ar, então seria mais apropriado calcular a ∆z de ar no manômetro usando [tex3]\rho_{água}-\rho_{ar} [/tex3]

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[tex3]\rho_{água}-\rho_{ar} [/tex3]

ao invés de [tex3]\rho_{água}[/tex3]

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[tex3]\rho_{água}[/tex3]

ao calcular h. A coluna de ar adicional no manômetro tende a anular a mudança de pressão devido à diferença de elevação no fluxo neste caso.


Bons estudos!