Ensino Fundamental ⇒ Quadrados perfeitos Tópico resolvido

[Brasileiro312]

Prova que nenhum número que a soma dos algarismos é igual a 15 é um quadrado perfeito.

[jofmth]

Um fato interessante que ajuda resolver muitos problemas envolvendo soma dos dígitos de um número, é que a soma dos algarismos de qualquer número deixa o mesmo resto que ele quando dividido por [tex3]9[/tex3]

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[tex3]9[/tex3]

, suponhamos que exista um quadrado perfeito que a soma dos seus dígitos é [tex3]15[/tex3]

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[tex3]15[/tex3]

, portanto o quadrado perfeito deixa resto [tex3]6[/tex3]

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[tex3]6[/tex3]

.
Seja [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

a raiz quadrada desse quadrado perfeito

Se [tex3]n\equiv 1 \pmod 9\Rightarrow n^2\equiv 1 \pmod 9[/tex3]

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[tex3]n\equiv 1 \pmod 9\Rightarrow n^2\equiv 1 \pmod 9[/tex3]

Se [tex3]n\equiv 2 \pmod 9\Rightarrow n^2\equiv 4 \pmod 9[/tex3]

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[tex3]n\equiv 2 \pmod 9\Rightarrow n^2\equiv 4 \pmod 9[/tex3]

Se [tex3]n\equiv 3 \pmod 9\Rightarrow n^2\equiv 9 \pmod 9[/tex3]

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[tex3]n\equiv 3 \pmod 9\Rightarrow n^2\equiv 9 \pmod 9[/tex3]

Se [tex3]n\equiv 4 \pmod 9\Rightarrow n^2\equiv 7 \pmod 9[/tex3]

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[tex3]n\equiv 4 \pmod 9\Rightarrow n^2\equiv 7 \pmod 9[/tex3]

Se [tex3]n\equiv 5 \pmod 9\Rightarrow n^2\equiv 7 \pmod 9[/tex3]

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[tex3]n\equiv 5 \pmod 9\Rightarrow n^2\equiv 7 \pmod 9[/tex3]

Se [tex3]n\equiv 6 \pmod 9\Rightarrow n^2\equiv 0 \pmod 9[/tex3]

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[tex3]n\equiv 6 \pmod 9\Rightarrow n^2\equiv 0 \pmod 9[/tex3]

Se [tex3]n\equiv 7 \pmod 9\Rightarrow n^2\equiv 4 \pmod 9[/tex3]

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[tex3]n\equiv 7 \pmod 9\Rightarrow n^2\equiv 4 \pmod 9[/tex3]

Se [tex3]n\equiv 8 \pmod 9\Rightarrow n^2\equiv 1 \pmod 9[/tex3]

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[tex3]n\equiv 8 \pmod 9\Rightarrow n^2\equiv 1 \pmod 9[/tex3]

Se [tex3]n\equiv 0 \pmod 9\Rightarrow n^2\equiv 0 \pmod 9[/tex3]

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[tex3]n\equiv 0 \pmod 9\Rightarrow n^2\equiv 0 \pmod 9[/tex3]

Absurdo não existe [tex3]n^2\equiv 6 \pmod 9[/tex3]

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[tex3]n^2\equiv 6 \pmod 9[/tex3]

.