Fazendo uma seção transversal da situação, temos:
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A "lâmina d'água" que está no nível mais baixo da borda do copo, ficará paralela à superfície horizontal. Assim, as retas [tex3]s[/tex3]
e [tex3]t[/tex3]
que estão na imagem, são paralelas. Com isso em mente, o ângulo [tex3]\theta[/tex3]
poderá ser observado também naquelas duas posições indicadas na figura. Chamamos de [tex3]x[/tex3]
a distância entre o vértice superior da borda até o nível da água (percorrida ao longo da parede do copo), [tex3]H[/tex3]
a altura do copo e [tex3]h[/tex3]
é o mesmo da imagem do problema.
O volume original de água no copo é:
[tex3]\Rightarrow V_{a}^{1}=\frac{4}{5}V_{T}=\frac{4}{5}\pi r^{2}H[/tex3]
Agora, com o copo inclinado, podemos calcular o volume de água como a soma do volume de um cilindro de altura [tex3]H-x[/tex3]
e raio [tex3]r[/tex3]
e metade do volume de um cilindro de altura [tex3]x[/tex3]
e raio [tex3]r[/tex3]
. Assim:
[tex3]\Rightarrow V_{a}^{2}=\pi r^{2}(H-x)+\frac{1}{2}\pi r^{2}x=\pi r^{2}\left(H-\frac{x}{2} \right)[/tex3]
Como o volume de água não se alterou após a inclinação do copo, temos:
[tex3]\Rightarrow V_{a}^{1}=V_{a}^{2}[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow \frac{4}{5}\pi r^{2}H=\pi r^{2}\left(H-\frac{x}{2} \right)[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow \frac{4}{5}H=H-\frac{x}{2}[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow x=\frac{2}{5}H[/tex3]
Como [tex3]H=20[/tex3]
, segue que [tex3]x=8[/tex3]
. Agora, tentaremos responder as alternativas.
(1) Falsa. Justificativa:
O volume não ocupado pela água é:
[tex3]\Rightarrow V=\frac{1}{5}V_{T}=\frac{1}{5}\pi r^{2}H=100\pi \ne 300[/tex3]
Pois [tex3]\pi \ne 3[/tex3]
.
(2) Falsa. Justificativa:
Porque temos:
[tex3]\Rightarrow \tan\theta=\frac{x}{2r}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}[/tex3]
E o ângulo mediria [tex3]45^{\circ}[/tex3]
se a tangente fosse igual à [tex3]1[/tex3]
, o que não é verificado.
(3) Falsa. Justificativa:
Porque temos:
[tex3]\Rightarrow \cos\theta=\frac{h}{H}[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow h=H\cos\theta[/tex3]
Você pode usar a relação [tex3]\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}[/tex3]
junto com [tex3]\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1[/tex3]
(sendo [tex3]0^{\circ}<\theta <90^{\circ}[/tex3]
) para verificar que [tex3]\cos\theta=\frac{5\sqrt{41}}{41}[/tex3]
. Logo, [tex3]h=\frac{100}{41}\sqrt{41}[/tex3]
que evidentemente não é igual à um número inteiro como desejado para o problema.
(4) Verdadeira. Justificativa:
A distância que o problema chamou de [tex3]AB[/tex3]
é a minha [tex3]H-x[/tex3]
. Logo, [tex3]AB=H-x=20-8=12[/tex3]
.
