Ensino Superior ⇒ Integral dupla utilizando coodernadas polares!Ajuuuda Tópico resolvido

[danilct]

Calcular integral:
[tex3]\int\limits_{0}^{\sqrt{2}}\int\limits_{y}^{\sqrt{4-y^2}}1/1+x^2+y^2dxdy[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{0}^{\sqrt{2}}\int\limits_{y}^{\sqrt{4-y^2}}1/1+x^2+y^2dxdy[/tex3]

Resposta

---

Resp: [tex3]\frac{\pi }{8}ln5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\pi }{8}ln5[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Solução

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[tex3]\phi (r,\theta )=\begin{cases}
x=rcos\theta \\
y=rsen\theta
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\phi (r,\theta )=\begin{cases}
x=rcos\theta \\
y=rsen\theta
\end{cases}[/tex3]

Então;

x = y

[tex3]rcos\theta =rsen\theta [/tex3]

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[tex3]rcos\theta =rsen\theta [/tex3]

[tex3]tg\theta =1[/tex3]

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[tex3]tg\theta =1[/tex3]

[tex3]\theta =\frac{π}{4}[/tex3]

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[tex3]\theta =\frac{π}{4}[/tex3]

Logo, 0 ≤ [tex3]\theta [/tex3]

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[tex3]\theta [/tex3]

≤ π/4

Por ou lado,

x = √( 4 - y² )

x² + y² = 4 ( círculo de raio r = 2 , logo 0 ≤ r ≤ 2 )

Ainda;

dxdy = rdrd [tex3]\theta [/tex3]

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[tex3]\theta [/tex3]

e x² + y² = r²


Assim;

[tex3]\int\limits_{0}^{\frac{π}{4}}\int\limits_{0}^{2}\frac{r}{1+r^2}drd\theta =[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{0}^{\frac{π}{4}}\int\limits_{0}^{2}\frac{r}{1+r^2}drd\theta =[/tex3]

Obs. Para resolver a integral acima ( interna ) , você utiliza a substituição u = r² → du = 2rdr → rdr = du/2.

[tex3]\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\frac{π}{4}}[ln \ | r^2+1|]_{0}^{2}d\theta= [/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\frac{π}{4}}[ln \ | r^2+1|]_{0}^{2}d\theta= [/tex3]

Substituindo os limites de integração, resulta;

[tex3]\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\frac{π}{4}}ln \ (5)d\theta= [/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\frac{π}{4}}ln \ (5)d\theta= [/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.[ \theta]_{0}^{\frac{π}{4}} ln \ 5= \frac{π}{8}.ln \ 5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}.[ \theta]_{0}^{\frac{π}{4}} ln \ 5= \frac{π}{8}.ln \ 5[/tex3]

Portanto, o valor da integral dupla dada é (π/8).ln 5.

Nota

[tex3]\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{y}^{\sqrt{4-y^2}}\frac{1}{1+x^2+y^2}dxdy[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{y}^{\sqrt{4-y^2}}\frac{1}{1+x^2+y^2}dxdy[/tex3]

Bons estudos!