Ensino Superior ⇒ EDO - Série de Potência

[diegolins]

Encontre, no mínimo, os oito primeiros termos diferentes de zero da série de potência solução da EDO abaixo, em torno de x = 0. Explicite quais seriam duas soluções para esta EDO.

2y"+xy'+y=0

Alguém poderia me ajudar na resolução dessa questão? Grato!

[Vinisth]

Olá diegolins,

Claramente uma solução é chamando [tex3]y=\sum_{n=0}^{\infty}=c_nx^{n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=\sum_{n=0}^{\infty}=c_nx^{n}[/tex3]

. Deriva isso uma e duas vezes e coloca na EDO.
[tex3]2y"+xy'+y=2\cdot \sum_{n=2}^{\infty}=c_n(n)(n-1)x^{n-2}+\sum_{n=1}^{\infty}=c_n.nx^{n}+\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^{n}=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2y"+xy'+y=2\cdot \sum_{n=2}^{\infty}=c_n(n)(n-1)x^{n-2}+\sum_{n=1}^{\infty}=c_n.nx^{n}+\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^{n}=0[/tex3]

[tex3]2\cdot \sum_{n=0}^{\infty}=c_{n+2}(n+2)(n+1)x^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}c_n.nx^{n}+\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^{n}=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\cdot \sum_{n=0}^{\infty}=c_{n+2}(n+2)(n+1)x^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}c_n.nx^{n}+\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^{n}=0[/tex3]

[tex3]2c_2+c_0+\sum_{n=1}^{\infty}x^{n}\left[(2c_{n+2}(n+2)(n+1)+c_n(n+1)) \right]=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2c_2+c_0+\sum_{n=1}^{\infty}x^{n}\left[(2c_{n+2}(n+2)(n+1)+c_n(n+1)) \right]=0[/tex3]

Deixo para você, como homework resolver a recorrência.

Abraço !