Ensino Médio ⇒ Matrizes e Determinantes Tópico resolvido

[Killin]

Dada a matriz [tex3]n\times n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n\times n[/tex3]

, calcule [tex3]\det A = \left| \begin{array}{rcr}
x & y & 0 & 0 & ...&0 & 0\\
0 & x & y & 0 & ... & 0 & 0\\
0 & 0 & x & y&...&0&0\\
... & ... & ... & ... & ...&...&...\\
0&0&0&0&...&x &y\\
y&0&0&0&...&0&x
\end{array} \right|[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\det A = \left| \begin{array}{rcr}
x & y & 0 & 0 & ...&0 & 0\\
0 & x & y & 0 & ... & 0 & 0\\
0 & 0 & x & y&...&0&0\\
... & ... & ... & ... & ...&...&...\\
0&0&0&0&...&x &y\\
y&0&0&0&...&0&x
\end{array} \right|[/tex3]

Resposta

---

[tex3]x^n+(-1)^{n+1}y^n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^n+(-1)^{n+1}y^n[/tex3]

[undefinied3]

Aplicando Laplace na primeira linha:
[tex3]A_n=x
\left| \begin{array}{rcr}
x & y & 0 & ... & 0 & 0\\
0 & x & y&...&0&0\\
... & ... & ... & ...&...&...\\
0 & 0&0&...&x &y\\
0&0&0&...&0&x
\end{array} \right|
-y
\left| \begin{array}{rcr}
0 & y & 0 & ... & 0 & 0\\
0 & x & y&...&0&0\\
... & ... & ... & ...&...&...\\
0&0&0&...&x &y\\
y&0&0&...&0&x
\end{array} \right|=x.x^{n-1}+y^2
\left| \begin{array}{rcr}
0 & y&...&0&0\\
... & ... & ...&...&...\\
0&0&...&x &y\\
y&0&...&0&x
\end{array} \right|[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_n=x
\left| \begin{array}{rcr}
x & y & 0 & ... & 0 & 0\\
0 & x & y&...&0&0\\
... & ... & ... & ...&...&...\\
0 & 0&0&...&x &y\\
0&0&0&...&0&x
\end{array} \right|
-y
\left| \begin{array}{rcr}
0 & y & 0 & ... & 0 & 0\\
0 & x & y&...&0&0\\
... & ... & ... & ...&...&...\\
0&0&0&...&x &y\\
y&0&0&...&0&x
\end{array} \right|=x.x^{n-1}+y^2
\left| \begin{array}{rcr}
0 & y&...&0&0\\
... & ... & ...&...&...\\
0&0&...&x &y\\
y&0&...&0&x
\end{array} \right|[/tex3]

A primeira matriz é triangular. A segunda vai ficar repetindo o Laplace, invertendo o sinal e multiplicando cada vez por [tex3]y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y[/tex3]

. Daí segue o resultado
[tex3]\det=x^n+(-1)^{n+1}y^n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\det=x^n+(-1)^{n+1}y^n[/tex3]

Sabemos que é [tex3](-1)^{n+1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](-1)^{n+1}[/tex3]

pois basta tomar [tex3]n=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n=2[/tex3]

, teremos [tex3]x^2-y^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2-y^2[/tex3]

, então quando n é par, devemos ter uma potência ímpar de [tex3]-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-1[/tex3]

, então [tex3]n+1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n+1[/tex3]

.

[Killin]

Achei meio carteado esse [tex3](-1)^{n+1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](-1)^{n+1}[/tex3]

não entendi o raciocínio ali.

[undefinied3]

Não é carteado não, olha:
Se aplicar Laplace na linha ali (0 y ... 0 0), vai ficar -y*det de outra matriz, que vai ser igual ao det que acabou de calcular mas com ordem reduzida. Aí você aplica Laplace de novo, e vai aparecer -y*det de novo, e vai ficar alterando esse sinal. A gente só precisa saber, então, se vai ser sinal positivo ou negativo pra n. O jeito mais fácil é verificar pra algum n pequeno e verificar se, pra n par, dá negativo ou positivo. A gente sabe que depende da paridade de n porque só tem duas possibilidades, negativo ou positivo. Verificando n=2, par, vemos que o sinal é negativo, então quando n é par, devemos ter expoente ímpar. Poderia ser tanto n+1 quanto n-1.

[Killin]

Mas você verifica para n = 2 na matriz ou na expressão encontrada? O certo não seria fazer n = 2 na matriz n x n e ver o valor que o determinante resultaria? Se n for 2, teríamos [tex3]A = \left| \begin{array}{rcr}x & y \\ 0 & x \end {array} \right| [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A = \left| \begin{array}{rcr}x & y \\ 0 & x \end {array} \right| [/tex3]

o que [tex3]det=x^2 \neq x^2-y^2 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]det=x^2 \neq x^2-y^2 [/tex3]

não sei podemos também reduzir a matriz a isso, mas é a minha dúvida.

[undefinied3]

Mas pra n=2 dá [tex3]A = \left| \begin{array}{rcr}x & y \\ y & x \end {array} \right| [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A = \left| \begin{array}{rcr}x & y \\ y & x \end {array} \right| [/tex3]

Vendo a matriz pra n genérico, tem aquele y ali no canto inferior esquerdo da matriz. Aquilo ali tem que ter pra todo n. Em especial, pra n=2, não vai ter zeros intermediários entre o canto inferior esquerdo e o direito, de modo que fica do jeito acima.

[Killin]

Aaaah tá

Obrigado.