Ensino Superior ⇒ Integral - IFSC Tópico resolvido

[MORANGA]

José deseja construir um canteiro de flores, num terreno plano, cujo formato está representando pela área sombreada abaixo: Após alguns estudos, José concluiu que a área do canteiro está compreendida entre os gráficos das funções reais g(x)=0 e f(x)= 1/((〖x^2+1)〗^2 ) , com 0 ≤ x ≤ 1, x e y medidos em metros. É CORRETO afirmar que a área do canteiro, em metros quadrados, é igual a:

Resp: (π+8)/2

[Cardoso1979]

Observe

Solução

A área é dada por:

[tex3]A =\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A =\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}dx[/tex3]

Fazendo x = tg u → dx = sec² u du, daí;

Para x = 0 → tg u = 0 → u = 0

Para x = 1 → tg u = 1 → u = π/4

Então;

[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π}{4}}\frac{sec^{2}u}{(tg^{2}u+1)^{2}}du[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π}{4}}\frac{sec^{2}u}{(tg^{2}u+1)^{2}}du[/tex3]

[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π}{4}}\frac{sec^{2}u}{(sec^{2}u)^{2}}du[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π}{4}}\frac{sec^{2}u}{(sec^{2}u)^{2}}du[/tex3]

[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π}{4}}\frac{1}{sec^{2}u}du[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π}{4}}\frac{1}{sec^{2}u}du[/tex3]

[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π}{4}}cos^{2}u \ du[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π}{4}}cos^{2}u \ du[/tex3]

[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π}{4}}[\frac{cos \ 2u}{2} + \frac{1}{2} ] du[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π}{4}}[\frac{cos \ 2u}{2} + \frac{1}{2} ] du[/tex3]

[tex3]A = [\frac{sen \ 2u}{4}+\frac{u}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A = [\frac{sen \ 2u}{4}+\frac{u}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}}[/tex3]

[tex3]A = \frac{sen \ \left(\frac{π}{2}\right)}{4}+ \frac{\frac{π}{4}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A = \frac{sen \ \left(\frac{π}{2}\right)}{4}+ \frac{\frac{π}{4}}{2}[/tex3]

[tex3]A = \frac{π}{8}+ \frac{1}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A = \frac{π}{8}+ \frac{1}{4}[/tex3]

Logo;

[tex3]A = \frac{π + 2}{8}u.a.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A = \frac{π + 2}{8}u.a.[/tex3]

Obs. O seu gabarito está errado!!

Bons estudos!