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Olimpíadas ⇒ (Olimpíada de Minas Gerais 2005) Radiciação Tópico resolvido
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Abr 2018
03
11:46
(Olimpíada de Minas Gerais 2005) Radiciação
Qual o valor inteiro da expressão [tex3]\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}[/tex3]
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Resposta
1
- Ittalo25
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Abr 2018
03
12:11
Re: (Olimpíada de Minas Gerais 2005) Radiciação
[tex3]\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}} = k[/tex3]
[tex3](\sqrt[3]{2+\sqrt{5}})^3+(\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})^3 +3\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\cdot \sqrt[3]{2-\sqrt{5}} \cdot (\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}} )= k^3[/tex3]
[tex3]2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5} +3 \sqrt[3]{2^2-\sqrt{5^2}} \cdot (k )= k^3[/tex3]
[tex3]4 +3 \sqrt[3]{-1} \cdot (k )= k^3[/tex3]
[tex3]4 -3 k = k^3[/tex3]
[tex3]\boxed {k=1}[/tex3]
[tex3](\sqrt[3]{2+\sqrt{5}})^3+(\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})^3 +3\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\cdot \sqrt[3]{2-\sqrt{5}} \cdot (\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}} )= k^3[/tex3]
[tex3]2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5} +3 \sqrt[3]{2^2-\sqrt{5^2}} \cdot (k )= k^3[/tex3]
[tex3]4 +3 \sqrt[3]{-1} \cdot (k )= k^3[/tex3]
[tex3]4 -3 k = k^3[/tex3]
[tex3]\boxed {k=1}[/tex3]
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
- PedroCosta
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Abr 2018
03
12:23
Re: (Olimpíada de Minas Gerais 2005) Radiciação
Semelhante a da EsPCEx do ano retrasado ou passado. Se quiser treinar, só ir atrás dela.
[tex3]x = \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}[/tex3]
Elevando ao cubo e desenvolvendo:
[tex3]x^3 = 4 -3 (\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})\\
x^3 = 4 -3x\\
x^3 + 3x - 4 = 0[/tex3]
Pela pesquisa das raízes racionais, o 1 é a nossa única solução inteira. Só pra deixar algo diferente da solução do colega acima, você poderia aplicar o dispositivo de Briot-Ruffini e encontrar [tex3]x^2+x+4[/tex3] que apresenta soluções complexas.
[tex3]x = \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}[/tex3]
Elevando ao cubo e desenvolvendo:
[tex3]x^3 = 4 -3 (\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})\\
x^3 = 4 -3x\\
x^3 + 3x - 4 = 0[/tex3]
Pela pesquisa das raízes racionais, o 1 é a nossa única solução inteira. Só pra deixar algo diferente da solução do colega acima, você poderia aplicar o dispositivo de Briot-Ruffini e encontrar [tex3]x^2+x+4[/tex3] que apresenta soluções complexas.
"Se vai tentar, vá até o fim.
Caso contrário, nem comece.
Se vai tentar, vá até o fim.
Pode perder namoradas, esposas, parentes, empregos e talvez até a cabeça.
Vá até o fim."
Charles Bukowski
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Abr 2018
03
12:26
Re: (Olimpíada de Minas Gerais 2005) Radiciação
[tex3](\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})^3[/tex3]
Por que não aplicou módulo?- PedroCosta
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Abr 2018
03
12:47
Re: (Olimpíada de Minas Gerais 2005) Radiciação
Cuidado. Veja que:
[tex3](-2)^3 = -8[/tex3]
Qual seria a raiz cúbica de -8?
[tex3](-2)^3 = -8[/tex3]
Qual seria a raiz cúbica de -8?
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