Questão 15 (nao sei a data da prova).
O par ordenado [tex3](x, y)[/tex3]
, com o [tex3]x[/tex3]
e [tex3]y[/tex3]
inteiros positivos, satisfaz a equação [tex3]5x^2+ 2y^2= 11 (xy - 11)[/tex3]
. O valor de [tex3]x+y[/tex3]
é:
(A) 160 (C) 81
(B) 122 (D) 41
(E) 11
Não possuo o gabarito.
IME / ITA ⇒ (IME) Equação Quadrática com 2 Variáveis Tópico resolvido
Mar 2018
21
11:43
(IME) Equação Quadrática com 2 Variáveis
Editado pela última vez por caju em 21 Mar 2018, 11:50, em um total de 1 vez.
Razão: Arrumar título e colocar TeX nas expressões matemáticas.
Razão: Arrumar título e colocar TeX nas expressões matemáticas.
- undefinied3
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Mar 2018
21
13:12
Re: (IME) Equação Quadrática com 2 Variáveis
Consdere a quadrática em apenas uma das variáveis. Tanto faz qual for, vou escolher x:
[tex3]5x^2-11yx+2y^2+121=0[/tex3]
[tex3]\Delta=121y^2-40y^2-2420=81y^2-2420[/tex3]
Isso precisa ser um quadrado perfeito.
[tex3](9y)^2-2420=t^2 \rightarrow 2420=(9y+t)(9y-t)[/tex3]
Aqui você utiliza o fato de que [tex3]2420=2^2*5*11^2[/tex3] e testa as possibilidades de fatores. Precisamos encontrar aqueles em que y será um inteiro. Por exemplo, testando o seguinte caso:
[tex3]\begin{cases}
1210=9y+t \\
2=9y-t
\end{cases} \rightarrow 18y=1212[/tex3]
Mas esse caso não vai dar certo, y não é inteiro.
Não vou fazer pra todos, o único que funciona é pra y=14 e pro simétrico y=-14, quando [tex3]18*14=252[/tex3] , de modo que isso ocorre para
[tex3]\begin{cases}
242=9y+t \\
10=9y-t
\end{cases}[/tex3] , e pro caso negativo.
Nesses dois casos, [tex3]\Delta=13456\rightarrow \sqrt{\Delta}=116[/tex3] , e temos [tex3]x=\frac{11*14\pm116}{10}=27 \ ou \ 3,8[/tex3] , descartamos o segundo valor. Assim, temos [tex3]x+y=27+14=41[/tex3] , pois o exercício pede y positivo.
[tex3]5x^2-11yx+2y^2+121=0[/tex3]
[tex3]\Delta=121y^2-40y^2-2420=81y^2-2420[/tex3]
Isso precisa ser um quadrado perfeito.
[tex3](9y)^2-2420=t^2 \rightarrow 2420=(9y+t)(9y-t)[/tex3]
Aqui você utiliza o fato de que [tex3]2420=2^2*5*11^2[/tex3] e testa as possibilidades de fatores. Precisamos encontrar aqueles em que y será um inteiro. Por exemplo, testando o seguinte caso:
[tex3]\begin{cases}
1210=9y+t \\
2=9y-t
\end{cases} \rightarrow 18y=1212[/tex3]
Mas esse caso não vai dar certo, y não é inteiro.
Não vou fazer pra todos, o único que funciona é pra y=14 e pro simétrico y=-14, quando [tex3]18*14=252[/tex3] , de modo que isso ocorre para
[tex3]\begin{cases}
242=9y+t \\
10=9y-t
\end{cases}[/tex3] , e pro caso negativo.
Nesses dois casos, [tex3]\Delta=13456\rightarrow \sqrt{\Delta}=116[/tex3] , e temos [tex3]x=\frac{11*14\pm116}{10}=27 \ ou \ 3,8[/tex3] , descartamos o segundo valor. Assim, temos [tex3]x+y=27+14=41[/tex3] , pois o exercício pede y positivo.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
- petras
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Mar 2018
21
13:22
Re: (IME) Equação Quadrática com 2 Variáveis
[tex3]\mathsf{5x²+2y²-11xy-xy=-121\rightarrow 5x^2+2y^2-10xy-xy=121\rightarrow 5x(x-2y)-y(x-2y)=-121\rightarrow \\\boxed{\mathsf{(5x-y)(x-2y)=-121}}}[/tex3]
Para o produto ser -121 e sendo inteiro os fatores teremos: (-1, 121), (121,-1) (-121, 1) (1,-121), (-11,11) (11,-11)
Testando chegaremos a solução com (121, -1):
[tex3]\mathsf{5x-y=121 \\x-2y =-1}[/tex3]
Resolvendo o sistema encontraremos [tex3]\mathsf{x=27~e~y=14\rightarrow \boxed{\mathsf{x+y=41}}}[/tex3]
Para o produto ser -121 e sendo inteiro os fatores teremos: (-1, 121), (121,-1) (-121, 1) (1,-121), (-11,11) (11,-11)
Testando chegaremos a solução com (121, -1):
[tex3]\mathsf{5x-y=121 \\x-2y =-1}[/tex3]
Resolvendo o sistema encontraremos [tex3]\mathsf{x=27~e~y=14\rightarrow \boxed{\mathsf{x+y=41}}}[/tex3]
Editado pela última vez por petras em 21 Mar 2018, 13:23, em um total de 1 vez.
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