INT{[(x+1)/(x^2+4x+5)^2]dx}
Não sei fazer o símbolo de integral aqui, minha dúvida é que as raízes do divisor são complexas então o método que eu sei não resolveu. Desde já obg
Resposta
gabarito: -[(x+3)/2(x^2+4x+5)] -(1/2).arctg(x+2) + C
Ensino Superior ⇒ Integral(questão)
Mar 2018
18
14:05
Integral(questão)
Me ajudem a calcular essa integral :
INT{[(x+1)/(x^2+4x+5)^2]dx}
Não sei fazer o símbolo de integral aqui, minha dúvida é que as raízes do divisor são complexas então o método que eu sei não resolveu. Desde já obg
gabarito: -[(x+3)/2(x^2+4x+5)] -(1/2).arctg(x+2) + C
INT{[(x+1)/(x^2+4x+5)^2]dx}
Não sei fazer o símbolo de integral aqui, minha dúvida é que as raízes do divisor são complexas então o método que eu sei não resolveu. Desde já obg
gabarito: -[(x+3)/2(x^2+4x+5)] -(1/2).arctg(x+2) + C
-
engigor
- Mensagens: 23
- Registrado em: 28 Dez 2016, 19:51
- Última visita: 15-03-23
- Agradeceu: 2 vezes
- Agradeceram: 1 vez
Mar 2018
18
16:28
Re: Integral(questão)
Tenta abrir o [tex3]x+1[/tex3]
pra poder manipular em alguma substituição.
Por exemplo:
[tex3]x+1 = \frac{1}{2}(2x+4)-1[/tex3]
Daí tu separa em duas integrais e as resolve independentemente:
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{2x+4}{2(x^2+4x+5)^2}dx - \int\limits_{}^{}\frac{1}{(x^2+4x+5)^2}dx[/tex3]
Então é só fazer as substituições.
A primeira integral:
[tex3]u=x^2+4x+5[/tex3]
[tex3]du=(2x+4)dx[/tex3] , logo, [tex3]dx=\frac{du}{2x+4}[/tex3] .
Substituindo:
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{(2x+4)}{2u^2}\frac{du}{(2x+4)}=\int\limits_{}^{}\frac{1}{2u^2}du=-\frac{1}{2u}=-\frac{1}{2(x^2+4x+5)}[/tex3] .
Agora a segunda integral:
[tex3]u=x+2[/tex3] e [tex3]du=dx[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{(u^2+1)^2}du[/tex3]
Aqui se usa um artifício de recorrência:
[tex3]u=tg\theta \rightarrow du=sec^2\theta d\theta [/tex3]
Reescrevendo a integral:
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{(u^2+1)^2}dx=\int\limits_{}^{}\frac{sec^2\theta }{(1+tg^2\theta )^2}d\theta [/tex3]
[tex3]1+tg^2\theta =sec^2\theta [/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{sec^2\theta }{sec^4\theta }d\theta =\int\limits_{}^{}\frac{1}{sec^2\theta }d\theta=\int\limits_{}^{}cos^2\theta d\theta [/tex3]
Usando a identidade [tex3]cos^2\theta =\frac{1+cos(2\theta )}{2}[/tex3]
A integral fica:
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1+cos(2\theta )}{2}d\theta =\frac{1}{2}(\int\limits_{}^{}d\theta +\int\limits_{}^{}cos(2\theta )d\theta )[/tex3]
O resultado da intgral anterior:
[tex3]\frac{1}{2}(\theta +\frac{sen(2\theta )}{2}[/tex3] . Usando a soma de arcos, fica:[tex3]\frac{1}{2}(\theta +\frac{2sen\theta cos\theta }{2})[/tex3]
que finalmente resulta em:
[tex3]\frac{1}{2}(\theta+ sen\theta cos\theta) [/tex3]
Do triângulo retângulo temos que [tex3]\theta =arctgu[/tex3] e que [tex3]sen\theta =\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}[/tex3] e também que [tex3]cos\theta =\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}[/tex3] .
Substituindo as expressões adequadamente, chega-se ao seguinte resultado:
[tex3]\frac{1}{2}(arctgu + \frac{u}{1+u^2})[/tex3]
Retornando aos valoreis originais:
[tex3]\frac{1}{2}(arctg(x+2)+\frac{x+2}{(x+2)^2+1})[/tex3]
Então é só somar os resultados que se obtém:
[tex3]\frac{-(x+3)}{2(x^2+4x+5)}-arctg(x+2) +C[/tex3]
Por exemplo:
[tex3]x+1 = \frac{1}{2}(2x+4)-1[/tex3]
Daí tu separa em duas integrais e as resolve independentemente:
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{2x+4}{2(x^2+4x+5)^2}dx - \int\limits_{}^{}\frac{1}{(x^2+4x+5)^2}dx[/tex3]
Então é só fazer as substituições.
A primeira integral:
[tex3]u=x^2+4x+5[/tex3]
[tex3]du=(2x+4)dx[/tex3] , logo, [tex3]dx=\frac{du}{2x+4}[/tex3] .
Substituindo:
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{(2x+4)}{2u^2}\frac{du}{(2x+4)}=\int\limits_{}^{}\frac{1}{2u^2}du=-\frac{1}{2u}=-\frac{1}{2(x^2+4x+5)}[/tex3] .
Agora a segunda integral:
[tex3]u=x+2[/tex3] e [tex3]du=dx[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{(u^2+1)^2}du[/tex3]
Aqui se usa um artifício de recorrência:
[tex3]u=tg\theta \rightarrow du=sec^2\theta d\theta [/tex3]
Reescrevendo a integral:
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{(u^2+1)^2}dx=\int\limits_{}^{}\frac{sec^2\theta }{(1+tg^2\theta )^2}d\theta [/tex3]
[tex3]1+tg^2\theta =sec^2\theta [/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{sec^2\theta }{sec^4\theta }d\theta =\int\limits_{}^{}\frac{1}{sec^2\theta }d\theta=\int\limits_{}^{}cos^2\theta d\theta [/tex3]
Usando a identidade [tex3]cos^2\theta =\frac{1+cos(2\theta )}{2}[/tex3]
A integral fica:
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1+cos(2\theta )}{2}d\theta =\frac{1}{2}(\int\limits_{}^{}d\theta +\int\limits_{}^{}cos(2\theta )d\theta )[/tex3]
O resultado da intgral anterior:
[tex3]\frac{1}{2}(\theta +\frac{sen(2\theta )}{2}[/tex3] . Usando a soma de arcos, fica:[tex3]\frac{1}{2}(\theta +\frac{2sen\theta cos\theta }{2})[/tex3]
que finalmente resulta em:
[tex3]\frac{1}{2}(\theta+ sen\theta cos\theta) [/tex3]
Do triângulo retângulo temos que [tex3]\theta =arctgu[/tex3] e que [tex3]sen\theta =\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}[/tex3] e também que [tex3]cos\theta =\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}[/tex3] .
Substituindo as expressões adequadamente, chega-se ao seguinte resultado:
[tex3]\frac{1}{2}(arctgu + \frac{u}{1+u^2})[/tex3]
Retornando aos valoreis originais:
[tex3]\frac{1}{2}(arctg(x+2)+\frac{x+2}{(x+2)^2+1})[/tex3]
Então é só somar os resultados que se obtém:
[tex3]\frac{-(x+3)}{2(x^2+4x+5)}-arctg(x+2) +C[/tex3]
-
- Tópicos Semelhantes
- Resp.
- Exibições
- Últ. msg
-
- 1 Resp.
- 702 Exibições
-
Últ. msg por petras
-
- 2 Resp.
- 1704 Exibições
-
Últ. msg por Binga
-
- 1 Resp.
- 882 Exibições
-
Últ. msg por snooplammer
-
- 6 Resp.
- 2667 Exibições
-
Últ. msg por olgario
-
- 2 Resp.
- 1446 Exibições
-
Últ. msg por aleixoreis
