Pré-Vestibular ⇒ Números Complexos - UEM 2017. Tópico resolvido

[CaioDamasco]

Seja V= {1,z_1 ,z_2 ,z_3 ,z_4 ,z_5 } um subconjunto de C formado pelos números complexos que, no plano complexo, correspondem aos vértices de um hexágono regular cujo centro está situado na origem. Assinale o que for correto.

01) O produto de quaisquer dois elementos de V também pertence a V.
02) A diferença de quaisquer dois elementos de V também pertence a V.
04) O conjugado de todo elemento de V também pertence a V.
08) A soma de quaisquer dois elementos de V também pertence a V.
16) A divisão de um elemento de V por outro elemento de V sempre pertence a V.

Resposta

---

Gabarito = 1 + 4 + 16 =21.

Quais são esses vértices?

[LucasPinafi]

São as soluções de [tex3]z^6 = 1\Longrightarrow z = \cis \left( \frac{2k\pi}{6} \right) = \cis \left( \frac{k \pi } 3 \right) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z^6 = 1\Longrightarrow z = \cis \left( \frac{2k\pi}{6} \right) = \cis \left( \frac{k \pi } 3 \right) [/tex3]

Assim,
[tex3]z_0 = \cis 0 = 1 \\ z_1 = \cis \frac \pi 3 = \frac 1 2 + \frac{\sqrt 3} 2 i \\ z_2 = \cis \frac {2\pi } 3 = - \frac 1 2 + \frac{\sqrt 3}
2 i \\ z_3 = \cis \pi = - 1 \\ z_4 = \cis \frac{4\pi } 3 = - \frac 1 2 - \frac{\sqrt 3 } 2 i \\ z_5 = \cis \frac {5 \pi} 3 = \frac 1 2 + \frac {\sqrt 3 } 2 i [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z_0 = \cis 0 = 1 \\ z_1 = \cis \frac \pi 3 = \frac 1 2 + \frac{\sqrt 3} 2 i \\ z_2 = \cis \frac {2\pi } 3 = - \frac 1 2 + \frac{\sqrt 3}
2 i \\ z_3 = \cis \pi = - 1 \\ z_4 = \cis \frac{4\pi } 3 = - \frac 1 2 - \frac{\sqrt 3 } 2 i \\ z_5 = \cis \frac {5 \pi} 3 = \frac 1 2 + \frac {\sqrt 3 } 2 i [/tex3]

01) [tex3]z_m z_n = \cis \left( \frac {m \pi } 3 \right) \cis \left( \frac {n\pi} 3 \right) = \cis \left( \frac {(m+n) \pi }{3} \right) = \cis \frac{k'\pi }{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z_m z_n = \cis \left( \frac {m \pi } 3 \right) \cis \left( \frac {n\pi} 3 \right) = \cis \left( \frac {(m+n) \pi }{3} \right) = \cis \frac{k'\pi }{3}[/tex3]

onde m , n= 1, 2,..,5 e k' = m+n. Logo, k' é inteiro de modo que [tex3]z_m z_n\in V[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z_m z_n\in V[/tex3]

02) Note que 1 - (-1) = 2 que não pertence a V
04) Verdadeiro. Basta ver os números complexos acima
08) Falso. Por exemplo, 1+(-1) = 0 que não pertence a V
16) Verdadeira. A prova segue exatamente como no item 01.

Obs: [tex3]\cis \theta = \cos \theta + i \sen \theta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cis \theta = \cos \theta + i \sen \theta [/tex3]

é a forma polar de [tex3]z=a+bi[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z=a+bi[/tex3]

com [tex3]\sqrt{a^2+b^2} =1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{a^2+b^2} =1[/tex3]