Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Ensino Superior ⇒ Cálculo de Derivadas Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
- Mensagens: 18
- Registrado em: 22 Fev 2018, 11:11
- Última visita: 20-04-18
- Agradeceu: 5 vezes
Fev 2018
22
11:30
Cálculo de Derivadas
Uma empresa fabricante de caixas d’água deseja lançar um novo tanque em formato cilíndrico no mercado. Então pediu-se à equipe de desenvolvimento que preparasse uma proposta de projeto com capacidade de 1000L. Como a equipe pode determinar a medida do raio da base e da altura do reservatório de modo que a quantidade de material utilizada para sua fabricação seja mínima?
Preciso da resposta urgente, por favor me ajudem.
Preciso da resposta urgente, por favor me ajudem.
-
- Mensagens: 372
- Registrado em: 27 Nov 2014, 15:46
- Última visita: 28-02-24
- Agradeceu: 41 vezes
- Agradeceram: 210 vezes
Fev 2018
22
13:10
Re: Cálculo de Derivadas
EDIT:
Temos o cilíndro: Volume do cilíndro é dado por: [tex3]V = A_{base} \cdot h = \pi\cdot r^2\cdot h[/tex3]
Temos a restrição que: [tex3]V=1000L=1m^3\rightarrow \boxed{ h = \dfrac{1}{\pi\cdot r^2}} [/tex3]
Área total: [tex3]A_t = A_{lateral} + 2\cdot A_{base} \\= 2\cdot \pi\cdot r\cdot h + 2\cdot \pi\cdot r^2= 2\cdot \pi\cdot r\cdot \dfrac{1}{\pi\cdot r^2} + 2\cdot \pi\cdot r^2 = \dfrac{2}{r} + 2\cdot \pi\cdot r^2 = \dfrac{2+2\cdot \pi\cdot r^3}{r}[/tex3]
Temos uma função da área total dependendo do raio. Vamos minimizar essa função, derivando [tex3]A_t [/tex3] em relação a r:
Regra do Quociente:
[tex3]A_{t}'(r) = \dfrac{(6\cdot \pi\cdot r^2)\cdot r - (2+2\cdot \pi\cdot r^3)\cdot (1)}{r^2} = \dfrac{6\pi r^3 - 2\pi r^3 - 2}{r^2} =\dfrac{4\pi r^3-2}{r^2} [/tex3]
Procurando o ponto crítico: [tex3]A'_t(r)=0[/tex3] , como o denominador é sempre positivo e diferente de zero, pois [tex3]r>0[/tex3] .
Estudamos o sinal do numerador:
[tex3]4\pi r^3-2= 0 \rightarrow \boxed {r = \sqrt[3]{\dfrac{1}{2\pi}}m}[/tex3]
Logo, para [tex3]h\(\sqrt[3]{\dfrac{1}{2\pi}}m\) = \dfrac{1}{\pi\cdot \[\(\dfrac{1}{2\pi}\)^{\dfrac{1}{3}}\]^2}= \dfrac{1}{\pi}\cdot \sqrt[3]{\dfrac{1}{\(\dfrac{1}{4\pi^2}\)}}\rightarrow \boxed {h=\dfrac{\sqrt[3]{4\pi^2}}{\pi} m} [/tex3] .
Testando:
[tex3]V = \pi\cdot r^2\cdot h = \pi \cdot \( \sqrt[3]{\dfrac{1}{2\pi}}\)^2\cdot \(\dfrac{\sqrt[3]{4\pi^2}}{\pi}\) =1,0m^3[/tex3] ...OK
Temos o cilíndro: Volume do cilíndro é dado por: [tex3]V = A_{base} \cdot h = \pi\cdot r^2\cdot h[/tex3]
Temos a restrição que: [tex3]V=1000L=1m^3\rightarrow \boxed{ h = \dfrac{1}{\pi\cdot r^2}} [/tex3]
Área total: [tex3]A_t = A_{lateral} + 2\cdot A_{base} \\= 2\cdot \pi\cdot r\cdot h + 2\cdot \pi\cdot r^2= 2\cdot \pi\cdot r\cdot \dfrac{1}{\pi\cdot r^2} + 2\cdot \pi\cdot r^2 = \dfrac{2}{r} + 2\cdot \pi\cdot r^2 = \dfrac{2+2\cdot \pi\cdot r^3}{r}[/tex3]
Temos uma função da área total dependendo do raio. Vamos minimizar essa função, derivando [tex3]A_t [/tex3] em relação a r:
Regra do Quociente:
[tex3]A_{t}'(r) = \dfrac{(6\cdot \pi\cdot r^2)\cdot r - (2+2\cdot \pi\cdot r^3)\cdot (1)}{r^2} = \dfrac{6\pi r^3 - 2\pi r^3 - 2}{r^2} =\dfrac{4\pi r^3-2}{r^2} [/tex3]
Procurando o ponto crítico: [tex3]A'_t(r)=0[/tex3] , como o denominador é sempre positivo e diferente de zero, pois [tex3]r>0[/tex3] .
Estudamos o sinal do numerador:
[tex3]4\pi r^3-2= 0 \rightarrow \boxed {r = \sqrt[3]{\dfrac{1}{2\pi}}m}[/tex3]
Logo, para [tex3]h\(\sqrt[3]{\dfrac{1}{2\pi}}m\) = \dfrac{1}{\pi\cdot \[\(\dfrac{1}{2\pi}\)^{\dfrac{1}{3}}\]^2}= \dfrac{1}{\pi}\cdot \sqrt[3]{\dfrac{1}{\(\dfrac{1}{4\pi^2}\)}}\rightarrow \boxed {h=\dfrac{\sqrt[3]{4\pi^2}}{\pi} m} [/tex3] .
Testando:
[tex3]V = \pi\cdot r^2\cdot h = \pi \cdot \( \sqrt[3]{\dfrac{1}{2\pi}}\)^2\cdot \(\dfrac{\sqrt[3]{4\pi^2}}{\pi}\) =1,0m^3[/tex3] ...OK
Editado pela última vez por lorramrj em 22 Fev 2018, 14:37, em um total de 4 vezes.
Engenharia da Computação | PUC-RIO
O que sabemos não é muito. O que não sabemos é imenso.”
:-> [tex3]\textbf{S. P. Laplace}[/tex3]
O que sabemos não é muito. O que não sabemos é imenso.”
:-> [tex3]\textbf{S. P. Laplace}[/tex3]
-
- Mensagens: 2724
- Registrado em: 06 Jul 2017, 14:54
- Última visita: 01-05-24
- Agradeceu: 375 vezes
- Agradeceram: 1012 vezes
Fev 2018
22
13:35
Re: Cálculo de Derivadas
O certo não seria [tex3]A_{t}'(r) = \dfrac{(6.\pi.r^2).r - (2+2.\pi.r^3).(1)}{r^2}[/tex3]
?Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
-
- Mensagens: 372
- Registrado em: 27 Nov 2014, 15:46
- Última visita: 28-02-24
- Agradeceu: 41 vezes
- Agradeceram: 210 vezes
Fev 2018
22
13:46
Re: Cálculo de Derivadas
Sim, passou batido valeu!
Engenharia da Computação | PUC-RIO
O que sabemos não é muito. O que não sabemos é imenso.”
:-> [tex3]\textbf{S. P. Laplace}[/tex3]
O que sabemos não é muito. O que não sabemos é imenso.”
:-> [tex3]\textbf{S. P. Laplace}[/tex3]
-
- Mensagens: 2724
- Registrado em: 06 Jul 2017, 14:54
- Última visita: 01-05-24
- Agradeceu: 375 vezes
- Agradeceram: 1012 vezes
Fev 2018
22
13:51
Re: Cálculo de Derivadas
Da dedução do Lorran, [tex3]S_{t}=\dfrac{2(1+.\pi.r^3)}{r}[/tex3]
[tex3]S'_{t}=\frac{2(2\pi r^3-1)}{r^2}[/tex3]
calculando o [tex3]S'_{t}=0\rightarrow r^3=\frac{1}{2\pi }\rightarrow r=\frac{\sqrt[3]{4\pi ^2}}{2\pi }[/tex3] [tex3]r\neq 0[/tex3]
substituindo na formula da altura:
[tex3]H=\frac{1}{\pi r^2}\rightarrow H=\frac{\sqrt[3]{4\pi ^2}}{\pi }[/tex3]
[tex3]S'_{t}=\frac{2(2\pi r^3-1)}{r^2}[/tex3]
calculando o [tex3]S'_{t}=0\rightarrow r^3=\frac{1}{2\pi }\rightarrow r=\frac{\sqrt[3]{4\pi ^2}}{2\pi }[/tex3] [tex3]r\neq 0[/tex3]
substituindo na formula da altura:
[tex3]H=\frac{1}{\pi r^2}\rightarrow H=\frac{\sqrt[3]{4\pi ^2}}{\pi }[/tex3]
Editado pela última vez por jvmago em 22 Fev 2018, 13:52, em um total de 1 vez.
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
-
- Mensagens: 18
- Registrado em: 22 Fev 2018, 11:11
- Última visita: 20-04-18
- Agradeceu: 5 vezes
Fev 2018
22
14:06
Re: Cálculo de Derivadas
Essa seria a resposta correta então????jvmago escreveu: ↑22 Fev 2018, 13:51 Da dedução do Lorran, [tex3]S_{t}=\dfrac{2(1+.\pi.r^3)}{r}[/tex3]
[tex3]S'_{t}=\frac{2(2\pi r^3-1)}{r^2}[/tex3]
calculando o [tex3]S'_{t}=0\rightarrow r^3=\frac{1}{2\pi }\rightarrow r=\frac{\sqrt[3]{4\pi ^2}}{2\pi }[/tex3] [tex3]r\neq 0[/tex3]
substituindo na formula da altura:
[tex3]H=\frac{1}{\pi r^2}\rightarrow H=\frac{\sqrt[3]{4\pi ^2}}{\pi }[/tex3]
-
- Mensagens: 2724
- Registrado em: 06 Jul 2017, 14:54
- Última visita: 01-05-24
- Agradeceu: 375 vezes
- Agradeceram: 1012 vezes
Fev 2018
22
14:09
Re: Cálculo de Derivadas
Se eu não tiver me equivacado, simmarcos5566 escreveu: ↑22 Fev 2018, 14:06Essa seria a resposta correta então????jvmago escreveu: ↑22 Fev 2018, 13:51 Da dedução do Lorran, [tex3]S_{t}=\dfrac{2(1+.\pi.r^3)}{r}[/tex3]
[tex3]S'_{t}=\frac{2(2\pi r^3-1)}{r^2}[/tex3]
calculando o [tex3]S'_{t}=0\rightarrow r^3=\frac{1}{2\pi }\rightarrow r=\frac{\sqrt[3]{4\pi ^2}}{2\pi }[/tex3] [tex3]r\neq 0[/tex3]
substituindo na formula da altura:
[tex3]H=\frac{1}{\pi r^2}\rightarrow H=\frac{\sqrt[3]{4\pi ^2}}{\pi }[/tex3]
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
-
- Mensagens: 18
- Registrado em: 22 Fev 2018, 11:11
- Última visita: 20-04-18
- Agradeceu: 5 vezes
Fev 2018
22
14:40
Re: Cálculo de Derivadas
Beleza, Valeu !!!jvmago escreveu: ↑22 Fev 2018, 14:09Se eu não tiver me equivacado, simmarcos5566 escreveu: ↑22 Fev 2018, 14:06Essa seria a resposta correta então????jvmago escreveu: ↑22 Fev 2018, 13:51 Da dedução do Lorran, [tex3]S_{t}=\dfrac{2(1+.\pi.r^3)}{r}[/tex3]
[tex3]S'_{t}=\frac{2(2\pi r^3-1)}{r^2}[/tex3]
calculando o [tex3]S'_{t}=0\rightarrow r^3=\frac{1}{2\pi }\rightarrow r=\frac{\sqrt[3]{4\pi ^2}}{2\pi }[/tex3] [tex3]r\neq 0[/tex3]
substituindo na formula da altura:
[tex3]H=\frac{1}{\pi r^2}\rightarrow H=\frac{\sqrt[3]{4\pi ^2}}{\pi }[/tex3]
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última mensagem