Determine o maior número real [tex3]z[/tex3]
tal que:
[tex3]\begin{cases}x+y+z=5\\
xy+yz+xz=3
\end{cases}[/tex3]
sendo [tex3]x,y[/tex3]
também reais.
Obs: Não tenho gabarito.
Olimpíadas ⇒ Canadá 1978 (Sistema) Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2018
09
14:13
Re: Canadá 1978 (Sistema)
Temos:
[tex3]x + y = 5-z[/tex3]
[tex3]xy + z(5-z) = 3 \rightarrow xy = z^2 - 5z + 3[/tex3]
Logo, x e y são raízes da equação do tipo:
Logo: [tex3](k - x)(k - y) = 0 \rightarrow k^2 - k(x+y) + x y = 0[/tex3]
Portanto: [tex3]k^2 - k(5-z) + (z^2 - 5z + 3) = 0[/tex3]
Tal que: [tex3]\Delta = (5-z)^2 - 4(z^2 - 5z + 3) \geq 0 [/tex3]
Achamos: [tex3]-1 \geq z \geq \dfrac{13}{3} \therefore \boxed {z =\dfrac{13}{3} }[/tex3]
[tex3]x + y = 5-z[/tex3]
[tex3]xy + z(5-z) = 3 \rightarrow xy = z^2 - 5z + 3[/tex3]
Logo, x e y são raízes da equação do tipo:
Logo: [tex3](k - x)(k - y) = 0 \rightarrow k^2 - k(x+y) + x y = 0[/tex3]
Portanto: [tex3]k^2 - k(5-z) + (z^2 - 5z + 3) = 0[/tex3]
Tal que: [tex3]\Delta = (5-z)^2 - 4(z^2 - 5z + 3) \geq 0 [/tex3]
Achamos: [tex3]-1 \geq z \geq \dfrac{13}{3} \therefore \boxed {z =\dfrac{13}{3} }[/tex3]
Última edição: lorramrj (Sex 09 Fev, 2018 14:14). Total de 1 vez.
Engenharia da Computação | PUC-RIO
O que sabemos não é muito. O que não sabemos é imenso.”
:-> [tex3]\textbf{S. P. Laplace}[/tex3]
O que sabemos não é muito. O que não sabemos é imenso.”
:-> [tex3]\textbf{S. P. Laplace}[/tex3]
Fev 2018
09
14:36
Re: Canadá 1978 (Sistema)
Soma e Produto de uma equação de segundo grau.
Engenharia da Computação | PUC-RIO
O que sabemos não é muito. O que não sabemos é imenso.”
:-> [tex3]\textbf{S. P. Laplace}[/tex3]
O que sabemos não é muito. O que não sabemos é imenso.”
:-> [tex3]\textbf{S. P. Laplace}[/tex3]
Fev 2018
09
14:42
Re: Canadá 1978 (Sistema)
Correto, mas não entendi é oq vem antes da implicação. [tex3]x,y[/tex3]
serem raízes da equação quadrática em [tex3]z[/tex3]
. 
Última edição: Babi123 (Sex 09 Fev, 2018 14:42). Total de 1 vez.
Fev 2018
09
15:19
Re: Canadá 1978 (Sistema)
Como temos [tex3]x+y [/tex3] e [tex3]xy[/tex3] (soma e produto).
Então vamos supor que se x e y são raízes de um polinômio de grau 2, então:
[tex3](k-x).(x-y)=0 [/tex3] (forma fatorada de um polinônio de grau 2, onde x e y são as raízes).
Se você expandir essa equação chegará nos termos [tex3]x+y[/tex3] e [tex3]xy[/tex3] , basta mudar para o termo dependente de z e analisar o delta.
Última edição: lorramrj (Sex 09 Fev, 2018 15:21). Total de 3 vezes.
Engenharia da Computação | PUC-RIO
O que sabemos não é muito. O que não sabemos é imenso.”
:-> [tex3]\textbf{S. P. Laplace}[/tex3]
O que sabemos não é muito. O que não sabemos é imenso.”
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