Olimpíadas

Mensagem não lidapor **Babi123** » 08 Fev 2018, 21:37 · Mensagem não lida por **Babi123** » 08 Fev 2018, 21:37

Encontre todos as triplas ordenados [tex3](x, y, z)[/tex3] de números reais que satisfaçam o seguinte sistema de
equações:
[tex3]\begin{cases}
xy=z-x-y\\
xz=y-x-z\\
yz=x-y-z
\end{cases}[/tex3]

Resposta

S={(-2,0-2), (-2,-2,0), (0,0,0), (0,-2,-2), (-1,-1,-1)}

Mensagem não lidapor **Ittalo25** » 08 Fev 2018, 21:46 · Mensagem não lida por **Ittalo25** » 08 Fev 2018, 21:46

Somando as 2 últimas:

[tex3]-2z = z\cdot (x+y) [/tex3]

Então [tex3]z = 0 [/tex3] ou [tex3]x+y=-2 [/tex3]

só resolver os 2 casos.

Mensagem não lidapor **Babi123** » 08 Fev 2018, 22:14 · Mensagem não lida por **Babi123** » 08 Fev 2018, 22:14

Muito interessante e criativo oq vc fez, mas veja como fica:

I) Se [tex3]z=0 \implies \boxed{x=y} ...... (i)[/tex3]

Substituindo [tex3](i)[/tex3] na primeira equação e usando [tex3]x+y=-2[/tex3] , temos:
[tex3]xy=z-(x+y)[/tex3]
[tex3]x\cdot x=0-(-2)[/tex3]
[tex3]x^2=2 \implies x=\sqrt{2}[/tex3]

Onde estou errando?

Mensagem não lidapor **Ittalo25** » 08 Fev 2018, 22:17 · Mensagem não lida por **Ittalo25** » 08 Fev 2018, 22:17

É [tex3]z = 0 [/tex3] ou [tex3]x+y = -2 [/tex3]

Não necessariamente os 2 casos ao mesmo tempo

Mensagem não lidapor **Babi123** » 08 Fev 2018, 23:57 · Mensagem não lida por **Babi123** » 08 Fev 2018, 23:57

Ittalo25 escreveu: ↑08 Fev 2018, 22:17É [tex3]z=0[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]z=0[/tex3]
ou [tex3]x+y=−2[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]x+y=−2[/tex3]

Não necessariamente os 2 casos ao mesmo tempo

, não me atentei para isso, grata. Então fica:

I) Se [tex3]z=0 \implies x=y[/tex3] :
[tex3]xy=z-x-y[/tex3]
[tex3]x\cdot x=0-x-x[/tex3]
[tex3]x^2=-2x\\
x^2+2x=0\\
x(x+2)=0[/tex3]
Duas possibilidades:
[tex3](i)[/tex3] :
[tex3]\boxed{x=0 \ \ \therefore \ \ y=0}[/tex3]
ou
[tex3](ii)[/tex3] :
[tex3]x+2=0\implies \boxed{x=-2 \ \ \therefore \ \ y=-2}[/tex3]

II) Se [tex3]x+y=-2[/tex3] :
[tex3]xy=z-x-y[/tex3]
[tex3]xy=z-(x+y)[/tex3] .
[tex3]xy=z-(-2)[/tex3]
[tex3]xy=z+2 [/tex3]
Agora, de [tex3](i) \ \ \ e \ \ \ (ii)[/tex3] , temos dois casos:

Para [tex3]x=0[/tex3] :
[tex3]xy=z-x-y[/tex3]
[tex3]0=z-0-y \implies \boxed{z=y}[/tex3]

Para [tex3]x=-2[/tex3] :
[tex3]-2y=z+2-y[/tex3]
[tex3]z+2=y-2y[/tex3] , mas [tex3]z=y [/tex3] :
[tex3]z+2=z-2z \implies \boxed{y=z=-1 \ \ \therefore \ \ x=-1}[/tex3]

Logo, o conjunto solução, será:
[tex3]S= \{(0,0,0), \ (-2,-2,0) , \ (-2,0,-2), \ (0,-2,-2), \ (-1,-1,-1)\}[/tex3]

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