Seja [tex3]y_1:=\sqrt{p}[/tex3]
, onde [tex3]p > 0 [/tex3]
e [tex3]y_{n+1}:=\sqrt{p+y_n}[/tex3]
para [tex3]n\in \mathbb{N}[/tex3]
. Mostre que [tex3](y_n)[/tex3]
converge e encontre o limite.
(Dica: Primeiro mostre por indução que [tex3]1+2\sqrt{p}[/tex3]
é uma cota superior).
Ensino Superior ⇒ Sequência definida por Recorrência Tópico resolvido
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Jan 2018
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01:31
Re: Sequência definida por Recorrência
mostrar que [tex3]\forall n \in \mathbb N[/tex3]
[tex3]y_n \leq 1+2\sqrt p[/tex3]
para [tex3]n=1[/tex3] : [tex3]\sqrt p \leq 1 + 2\sqrt p \iff -1 \leq \sqrt p[/tex3] ok
se valer pra um [tex3]n[/tex3] qualquer então [tex3]y_n \leq 1+2\sqrt p \implies y_n + p \leq (1 + \sqrt{p})^2 \iff y_{n+1} \leq 1 + \sqrt p \leq 1 + 2 \sqrt p[/tex3]
logo a sequência é limitada para todo [tex3]n \geq 1[/tex3]
dá pra mostrar por indução que ela é crescente: [tex3]y_{n+1} \geq y_n[/tex3]
para [tex3]n=1[/tex3] temos [tex3]y_2 = \sqrt{p + \sqrt{p}} \geq \sqrt p = y_1[/tex3]
supondo [tex3]y_{n+1} \geq y_n \implies p + y_{n+1} \geq p + y_n \implies \sqrt{p +y_{n+1}} \geq \sqrt{p + y_n} \iff y_{n+2} \geq y_{n+1}[/tex3]
portanto a sequência é crescente e limitada e então existe o número real [tex3]S[/tex3] tal que [tex3]S = \lim _{n \rightarrow \infty} y_n[/tex3]
aplicando o limite dos dois lados da relação de recorrência: [tex3]S = \sqrt{p + S} \implies p + S = S^2[/tex3]
[tex3](S- \frac12)^2 = p +\frac14[/tex3] então
[tex3]S= \frac12 \pm\sqrt{p +\frac14}[/tex3] como [tex3]S>0[/tex3]
[tex3]S = \sqrt{p + \frac14} +\frac12[/tex3]
para [tex3]n=1[/tex3] : [tex3]\sqrt p \leq 1 + 2\sqrt p \iff -1 \leq \sqrt p[/tex3] ok
se valer pra um [tex3]n[/tex3] qualquer então [tex3]y_n \leq 1+2\sqrt p \implies y_n + p \leq (1 + \sqrt{p})^2 \iff y_{n+1} \leq 1 + \sqrt p \leq 1 + 2 \sqrt p[/tex3]
logo a sequência é limitada para todo [tex3]n \geq 1[/tex3]
dá pra mostrar por indução que ela é crescente: [tex3]y_{n+1} \geq y_n[/tex3]
para [tex3]n=1[/tex3] temos [tex3]y_2 = \sqrt{p + \sqrt{p}} \geq \sqrt p = y_1[/tex3]
supondo [tex3]y_{n+1} \geq y_n \implies p + y_{n+1} \geq p + y_n \implies \sqrt{p +y_{n+1}} \geq \sqrt{p + y_n} \iff y_{n+2} \geq y_{n+1}[/tex3]
portanto a sequência é crescente e limitada e então existe o número real [tex3]S[/tex3] tal que [tex3]S = \lim _{n \rightarrow \infty} y_n[/tex3]
aplicando o limite dos dois lados da relação de recorrência: [tex3]S = \sqrt{p + S} \implies p + S = S^2[/tex3]
[tex3](S- \frac12)^2 = p +\frac14[/tex3] então
[tex3]S= \frac12 \pm\sqrt{p +\frac14}[/tex3] como [tex3]S>0[/tex3]
[tex3]S = \sqrt{p + \frac14} +\frac12[/tex3]
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maths123
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17:09
Re: Sequência definida por Recorrência
Não entendi essa implicação: [tex3]y_n \leq 1+2\sqrt p \implies y_n + p \leq (1 + \sqrt{p})^2[/tex3] . Poderia me explicar?
Grato por qualquer esclarecimento.
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17:26
Re: Sequência definida por Recorrência
[tex3]y_n \leq 1 + 2\sqrt p \iff y_n + p \leq 1 + 2\sqrt p + p = 1 + 2\sqrt p + (\sqrt p )^2 = (1+\sqrt p )^2[/tex3]
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