Ensino Superior

Mensagem não lidapor **maths123** » 21 Jan 2018, 00:19 · Mensagem não lida por **maths123** » 21 Jan 2018, 00:19

Seja [tex3]x_1=3[/tex3] e [tex3]x_{n+1}:=\frac{1}{5}\cdot x_n+4[/tex3] para todo [tex3]n \in \mathbb{N}[/tex3] . Mostre que [tex3](x_n)[/tex3] é limitada e monótona. Encontre o limite.

21 Jan 2018, 01:38

essa em particular você pode resolver na mão:
[tex3]x_n = y_n + c[/tex3]
[tex3]y_{n+1} + c = \frac{y_n+c}5 + 4[/tex3]
tome então [tex3]c=5[/tex3] e terá [tex3]y_{n+1} = \frac{y_n}5[/tex3] que caracteriza uma PG da forma [tex3]y_n = k \frac1{5^n}[/tex3]
logo [tex3]x_n = k\frac1{5^n} + 5[/tex3]
como [tex3]x_1 = 3[/tex3] então [tex3]k = -10[/tex3]
logo [tex3]x_n = -10\frac1{5^n} + 5[/tex3] quando [tex3]n \rightarrow \infty[/tex3] [tex3]\frac1{5^n} \rightarrow 0[/tex3] e [tex3]x_n \rightarrow 5[/tex3]

Mensagem não lidapor **maths123** » 21 Jan 2018, 17:17 · Mensagem não lida por **maths123** » 21 Jan 2018, 17:17

A liberdade de tomar [tex3]c=5[/tex3] vem do fato da relação ser válida para todo [tex3]n \in \mathbb{N}[/tex3] ?

21 Jan 2018, 17:23

a liberdade vem do fato de que a partir de qualquer sequência [tex3]a_n[/tex3] podermos construir uma sequência [tex3]b_n = a_n \pm c[/tex3] para uma constante fixa. A escolha de [tex3]c=5[/tex3] foi pra sumir com aquele 4 da expressão [tex3]x_{n+1} = \frac{x_n}5 + 4[/tex3]

Ensino Superior ⇒ Sequência definida por Recorrência Tópico resolvido

Sequência definida por Recorrência

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